Categoria: Progressão Aritmética

[tex3]a_7=20[/tex3]

[tex3]a_{10}=32[/tex3]

[tex3]a_{20}=?[/tex3]

– Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral:

[tex3]a_7=a1+6r\,\,\rightarrow\,\,\boxed{20=a_1+6r}[/tex3]

[tex3]a_{10}=a_1+9r\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{32=a_1+9r}[/tex3]

– Formamos um sistema de equações e resolvemos:

[tex3]\begin{cases}20=a_1+6r\\32=a1+9r\end{cases}[/tex3]

Vamos isolar o termo [tex3]a_1[/tex3] na primeira equação:

[tex3]a_1=20-6r[/tex3]

Agora vamos substituir este valor na segunda equação:

[tex3]32=20-6r+9r[/tex3]

[tex3]32-20=9r-6r[/tex3]

[tex3]12=3r[/tex3]

[tex3]r=\frac{12}{3}[/tex3]

[tex3]r=4[/tex3]

Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do [tex3]a_1[/tex3].

[tex3]20=a_1+6\cdot 4[/tex3]

[tex3]20=a_1+24[/tex3]

[tex3]a_1=-24+20[/tex3]

[tex3]a_1= -4[/tex3]

Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pedi o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral.

[tex3]a_{20}=a1+19r[/tex3]

[tex3]a_{20}=-4+19\cdot 4[/tex3]

[tex3]a_{20}=-4+19\cdot 4[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{a_{20}=72}}[/tex3]

Resposta certa, letra “C”.

– Note que temos uma PA no lado esquerdo da equação com:

[tex3]a_1= (x-2)[/tex3]

[tex3]a_2= (x-5)[/tex3]

…

– Sabemos que é uma PA pois a cada termo estamos somando uma mesma constante (a razão, que no caso é -3). Para descobrir esta razão simplesmente fazemos:

[tex3]r=a_2-a_1=(x-5)-(x-2)[/tex3]

[tex3]r=x-5-x+2[/tex3]

Menos com menos dá mais, por isso temos [tex3]+2[/tex3] e [tex3]x[/tex3] com [tex3]-x[/tex3] se anulam:

[tex3]r=-5+2[/tex3]

[tex3]\boxed{r=-3}[/tex3]

Esta é a razão da P.A.

– Como os termos estão sendo somados, devemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA. Já sabemos o primeiro termo, o último termo e a razão, mas para usar a fórmula da soma devemos saber o número de termos (ou seja, “n”). Para calcularmos vamos aplicar a fórmula do termo geral no último termo:

[tex3]a_n=a_1+(n-1)r[/tex3]

Substituindo os valores na fórmula:

[tex3](x-47)=(x-2)+(n-1)\cdot (-3)[/tex3]

[tex3]x-47-x+2= -3n+3[/tex3]

[tex3]-45-3= -3n[/tex3]

[tex3]-3n=-48[/tex3]

[tex3]n=48/3[/tex3]

[tex3]n=16[/tex3]

– Agora sim podemos usar a fórmula da soma:

[tex3]S_n=(a_1+a_n)\cdot \frac{n}{2}[/tex3]

[tex3]S_n=[(x-2)+(x-47)]\cdot \frac{16}{2}[/tex3]

[tex3]S_n=(2x-49)\cdot 8[/tex3]

[tex3]S_n=16x-392[/tex3]

– Vamos voltar na equação do exercício e substituir todo lado esquerdo da equação pelo valor calculado:

[tex3](x-2)+(x-5)+(x-8)+…+(x-47)=424[/tex3]

[tex3]16x-392=424[/tex3]

[tex3]16x=424+392[/tex3]

[tex3]16x=816[/tex3]

[tex3]x=\frac{816}{16}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{x=51}}[/tex3]

Resposta certa, letra “A”

[tex3]a_1=\frac{5\cdot 1-1}{2}\,\,\,\rightarrow\,\,\,a_1=\frac{4}{2}=2[/tex3]

[tex3]a_{10}=\frac{5\cdot 10-1}{2}\,\,\,\rightarrow\,\,\,a_{10}=\frac{49}{2}[/tex3]

– Agora é só aplicar a fórmula da soma:

[tex3]S_{10}=\frac{(a_1+a_{10})\cdot n}{2}[/tex3]

[tex3]S_{10}=\frac{\left(2+\frac{49}{2}\right)\cdot 10}{2}[/tex3]

[tex3]S_{10}=\left(\frac{4+49}{2}\right)\cdot+5[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{S_{10}=\frac{265}{2}}}[/tex3]

Resposta certa, letra “B”.

[tex3]\left\{L,\,\,\,\frac{L\sqrt{3}}{2},\,\,\,\frac{L^2\sqrt{3}}{4}\right\}[/tex3]

– O problema pede o valor da altura, e para isso devemos antes achar o valor de L. Vamos utilizar a propriedade fundamental de uma PA:

[tex3]\frac{L\sqrt{3}}{2}-L=\frac{L^2\sqrt{3}}{4}-\frac{L\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{2L\sqrt{3}-4L}{4}=\frac{L^2\sqrt{3}-2L\sqrt{3}}{4}[/tex3]

[tex3]L^2\sqrt{3}+2L\sqrt{3}+2L\sqrt{3}-4L=0[/tex3]

[tex3]L^2\sqrt{3}+4\sqrt{3}L-4L=0[/tex3]

[tex3]L\cdot(L\sqrt{3}+(4\sqrt{3}-4))=0[/tex3]

Chegamos em uma equação incompleta do segundo grau. Para facilitar os cálculos, coloquei o L em evidência.

Agora é só calcular as raízes, no caso são [tex3]L’=0[/tex3] e [tex3]L”=\frac{12-4\sqrt{3}}{3}[/tex3]. Como não podemos ter o valor de L como sendo ZERO, então vale só a segunda resposta.

O exercício pede a altura do triângulo, vamos aplicar a fórmula da altura (h):

[tex3]h=\frac{L\sqrt{3}}{2}=\frac{\left(\frac{12-4\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]h=\frac{12\sqrt{3}-12}{6}[/tex3]

[tex3]h=2\sqrt{3}-2[/tex3]

Nas resposta o problema coloca o 2 em evidência, assim sendo:

[tex3]\boxed{\boxed{h=2(\sqrt{3}-1)}}[/tex3]

Resposta certa, letra “C”.

Substituindo [tex3]n=1[/tex3]: [tex3]b_n=a_{5n}\,\,\,\rightarrow\,\,\,b_1=a_{5\cdot 1}\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{b_1=a_5}[/tex3]

Substituindo [tex3]n=2[/tex3]: [tex3]b_n=a_{5n}\,\,\,\rightarrow\,\,\,b_2=a_{5\cdot 2}\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{b_2=a_{10}}[/tex3]

Agora que já sabemos que [tex3]b_1=a_5[/tex3] e [tex3]b_2=a_{10}[/tex3] vamos ver quanto vale [tex3]a_5[/tex3] e [tex3]a_{10}[/tex3] :

[tex3]a_5=a_1+(5-1)r\,\,\,\rightarrow\,\,\,a_5=a_1+4r\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{b_1=a_1+4r}[/tex3]

[tex3]a_{10}=a_1+(10-1)r\,\,\,\rightarrow\,\,\,a_{10}=a_1+9r\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{b_2=a_1+9r}[/tex3]

Para calcularmos a razão da PA [tex3]b[/tex3] (vamos chamar de [tex3]R[/tex3] maiúsculo, para diferenciar de [tex3]r[/tex3]) é só calcularmos [tex3]b_2-b_1[/tex3]:

[tex3]b_2-b_1=a_1+9r-(a_1+4r)[/tex3]

[tex3]b_2-b_1=5r[/tex3]

[tex3]R=5r[/tex3]

Resposta certa, letra “C”.

[tex3]r=9[/tex3]

[tex3]a_1=4[/tex3]

[tex3]a_n=58[/tex3]

[tex3]n=?[/tex3]

– Vamos somente aplicar a fórmula do termo geral:

[tex3]a_n=a_1+(n-1)\cdot r[/tex3]

[tex3]58=4+(n-1)\cdot 9[/tex3]

[tex3]58-4=9n-9[/tex3]

[tex3]54+9=9n[/tex3]

[tex3]63=9n[/tex3]

[tex3]n=\frac{63}{9}[/tex3]

[tex3]n=7[/tex3]

Resposta certa, letra “E”.

– Aqui tem um pega ratão! Para usar a fórmula da soma devemos saber que é o a₄₀. Você pode achar que é o 40, mas não. Vamos calcular!
a₄₀=a₁+(40-1)·r
a₄₀=0+(39)·1
a₄₀=0+39
a₄₀=39

– Viu! Agora vamos aplicar a fórmula da soma.
S₄₀=(0+39)·40/2
S₄₀=39·20
S₄₀=780   Resposta certa, letra “D”.

– Neste exercício iremos usar a fórmula da soma dos termos, mas para isso devemos calcular o valor de a_n em função de a₁ e r. Calma lá, veja só:
    a_n=a₁+(n-1)r
a₁₁=a₁+(11-1)r
a₁₁=a₁+10r    sabemos que a razão é 400
a₁₁=a₁+10·400
a₁₁=a₁+4000

– Agora sim vamos colocar na fórmula da soma:

[tex3]S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot+n}{2}\\35200=\frac{(a_1+a_1+4000)\cdot+11}{2}\\35200=\frac{(2a_1+4000)\cdot+11}{2}\\70400=22a_1+44000\\22a_1=70400-44000\\22a_1=26400\\a_1=\frac{26400}{22}=1200[/tex3]

– Calculamos o valor de a₁, agora é só substituir na fórmula de a₁₁ para achar seu valor (pois é isso que o problema quer, o valor do último dia):
a₁₁=a₁+4000
a₁₁=1200+4000
a₁₁=5200    Resposta certa, letra “B”.

– Se substituirmos o “n” por 1 teremos S₁ que equivale dizer “a soma dos 1 primeiros termos”, ou seja, o próprio primeiro termo.
S_n=3n²+5n
S₁=3·1²+5·1
S₁=3+5
a₁=8

– Agora que tem o pega-ratão! Se substituirmo “n” por 2 teremos a soma dos 2 primeiros termos, ou seja, a₁+a₂:

    S₂=3·2²+5·2
    S₂=3·4+10
    S₂=12+10
    S₂=22

– Lembre-se que este é o valor de a₁+a₂ portanto:
    a₁+a₂=22
    8+a₂=22
    a₂=22-8
    a₂=14

– Para achar o valor da razão, fazemos a₂-a₁:
r=a₂-a₁
r=14-8
r=6    Resposta certa, letra “B”.

{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50…}

– Então para os múltiplos de “p” temos uma PA com r=p e a₁=p. O problema diz que “A” é a soma dos 100 primeiro múltiplos de “p”. Podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PA, mas para isso devemos saber o valor de a₁₀₀, vamos calculá-lo aplicando a fórmula do termo geral:
a₁₀₀=a₁+(100-1)r
a₁₀₀=p+99·p
a₁₀₀=100p

– Agora podemos calcula a soma dos cem primeiros, ou seja, o valor de “A”.
S₁₀₀=(a₁+a₁₀₀)·100/2
    S₁₀₀=(p+100p)·50
    S₁₀₀=(101p)·50
p=5050p

– Com este mesmo raciocínio vamos calcular “B”.
a₁₀₀=100q
S₁₀₀=(q+100q)·50
S₁₀₀=(101q)·50
S₁₀₀=5050q

– Concluímos que o valor de A+B é 5050p+5050q, colocando o 5050 em evidência, temos:
5050(p+q) resposta certa, letra “D”.

– Vamos utilizar a fórmula do termo geral:

[tex3]a_n=a_1+(n-1)\cdot r\\20a=-a+(n-1)\cdot 7\\20a+a=7n-7\\21a+7=7n\\n=\frac{21a+7}{7}\\n=3a+1[/tex3]

Agora não caia no pega-ratão, acabamos de calcular o número de termos que deve ter a progressão. O exercício pede quantos devem ser INSERIDOS entre -a e 20a, portanto devemos diminuir duas unidades:

3a+1-2
3a-1    Resposta certa letra “B”.