Nosso estudo de Equação Exponencial irá se dividir em equações de dois tipos: tipo 1 e tipo 2. Depois veremos gráficos de funções exponenciais e, por último, as inequações exponenciais.
Para iniciar este estudo, você deve ter lido a matéria “Aritmética Básica“. Pois lá você aprende os fundamentos utilizados nesta matéria (propriedades de potenciação e radiciação).
Para termos uma equação devemos ter uma igualdade. Ou seja, alguma coisa igualada à outra.
E para ser equação exponencial devemos, ainda, ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente [tex3]x[/tex3]) colocada no expoente (na potência).
Para resolvê-las utilizamos métodos que se valem das propriedades que acabamos de estudar.
Não existe uma fórmula mágica para resolução de equações exponenciais, existe um objetivo a ser alcançado: quando nos deparamos com uma equação exponencial devemos procurar um método de IGUALAR AS BASES de ambos os lados da igualdade.
Isso mesmo! Nas equações exponenciais do tipo 1, o objetivo é IGUALAR AS BASES para encontrar o resultado final.
Vamos ver abaixo vários exemplos resolvidos:
Exemplo 1:
[tex3]\boxed{3^x=9}[/tex3]
Esta é a nossa equação exponencial. Temos uma igualdade e veja que sua variável ([tex3]x[/tex3]) está como expoente do termo à esquerda desta igualdade.
Bom, o nosso objetivo é igualar as bases, vamos fatorar ambos os lados:
[tex3]3^x=3^2[/tex3]
O lado esquerdo já estava fatorado. Agora temos os dois lados com a mesma base. Chegamos ao objetivo. Agora devemos “CORTAR” as bases de ambos os lados.
[tex3]\cancel{3}^x=\cancel{3}^2[/tex3]
Pronto, com as bases “cortadas” mantemos os expoentes e calculamos uma equação do primeiro grau.
[tex3]\boxed{\boxed{x=2}}[/tex3]
Esta é a solução deste nosso exemplo!!
Exemplo 2:
Vejam agora um exemplo um pouquinho mais difícil:
[tex3]\boxed{4^{x-1}=32}[/tex3]
O nosso objetivo é sempre o mesmo: igualar as bases.
Vamos fatorar ambos os lados.
[tex3](2^2)^{x-1}=2^5[/tex3]
Temos agora que utilizar as propriedade de potenciação
[tex3]2^{2(x-1)}=2^5[/tex3]
[tex3]2^{2x-2}=2^5[/tex3]
Pronto, estamos com as bases iguais. Vamos cortar e resolver a equação do primeiro grau novamente.
[tex3]2x-2=5[/tex3]
Aplicando as propriedades operatórias.
[tex3]2x=5+2[/tex3]
[tex3]2x=7[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{x=\frac{7}{2}}}[/tex3]
Exemplo 3:
Vamos aumentar mais uma vez o nível.
[tex3]\boxed{25^{3x+1}=\sqrt{5^{56-x}}}[/tex3]
Novamente começamos fatorando:
[tex3](5^2)^{3x+1}=\sqrt{5^{56-x}}[/tex3]
Para igualar as bases, vamos aplicar as propriedades de potenciação e radiciação.
[tex3]5^{2(3x+1)}=5^{\frac{56-x}{2}}[/tex3]
[tex3]5^{6x+2}=5^{\frac{56-x}{2}}[/tex3]
Com as bases igualadas, vamos operar os expoentes:
[tex3]12x+x=56-4[/tex3]
[tex3]13x=52[/tex3]
[tex3]x=\frac{52}{13}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{x=4}}[/tex3]
Exemplo 4:
Mais um exemplo um pouco mais difícil:
[tex3]\boxed{3^{2^{x+1}}=81}[/tex3]
Este exemplo é um pouco mais difícil pois tem um expoente no expoente. Note que teremos que igualar as bases duas vezes. Preste atenção. Vamos fatorar:
[tex3]3^{2^{x+1}}=3^4[/tex3]
Agora podemos cortar as bases. Sobram os expoentes.
[tex3]\cancel{3}^{2^{x+1}}=\cancel{3}^4[/tex3]
[tex3]2^{x+1}=4[/tex3]
Temos outra equação exponencial. Novamente vamos fatorar e igualar as bases.
[tex3]2^{x+1}=2^2[/tex3]
Corta-se as bases.
[tex3]\cancel{2}^{x+1}=\cancel{2}[/tex3]
[tex3]x+1=2[/tex3]
[tex3]x=2-1[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{x=1}}[/tex3]
Exemplo 5:
Novamente, vamos aumentar a dificuldade:
[tex3]\boxed{4^{x+1}\cdot 8^{2x-3}=\frac{2^{1+x}}{16}}[/tex3]
Como sempre, vamos fatorar:
[tex3]\(2^2\)^{x+1}\cdot\(2^3\)^{2x-3}=\frac{2^{1+x}}{2^4}[/tex3]
Vamos aplicar as propriedades operatórias de potenciação para multiplicação e divisão de mesma base.
[tex3]2^{2x+2}\cdot 2^{6x-9}=\frac{2^{1+x}}{2^4}[/tex3]
[tex3]2^{2x+2+6x-9}=2^{1+x-4}[/tex3]
[tex3]2^{8x-7}2^{x-3}[/tex3]
Pronto, objetivo alcançado. Cortando…
[tex3]8x-7=x-3[/tex3]
[tex3]8x-x=7-3[/tex3]
[tex3]7x=4[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{x=\frac{4}{7}}}[/tex3]
Exemplo 6:
Vamos fazer um exemplo agora com várias raízes, uma dentro da outra:
[tex3]\boxed{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2^x}}}=2^{3,5x}}[/tex3]
Esta parece ser bem mais difícil, né?? Mas, a dificuldade é a mesma! Você precisa ter os mesmo conhecimentos para resolvê-la.
As bases já estão definidas, vai ser 2.
O que devemos fazer, agora, é transformar o lado esquerdo em uma única raiz usando as propriedades de radiciação.
Vamos primeiro trabalhar no 2 mais de dentro:
[tex3]\sqrt{2\sqrt{2\cdot 2^{\frac{x}{2}}}}=2^{3,5x}[/tex3]
Agora é só fazer a multiplicação de potências de mesma base.
[tex3]\sqrt{2\sqrt{2^{1+\frac{x}{2}}}}=2^{3,5x}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2\sqrt{2^{\frac{2+x}{2}}}}=2^{3,5x}[/tex3]
Uma raiz já foi. Vamos fazer a mesma coisa com as outras:
[tex3]\sqrt{2\cdot 2^{\frac{2+x}{2\cdot 2}}}=2^{3,5x}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2\cdot 2^{\frac{2+x}{4}}}=2^{3,5x}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2^{1+\frac{2+x}{4}}}=2^{3,5x}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2^{\frac{4+2+x}{4}}}=2^{3,5x}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2^{\frac{6+x}{4}}}=2^{3,5x}[/tex3]
Mais uma vez para matar a última raiz:
[tex3]2^{\frac{6+x}{8}}=2^{3,5x}[/tex3]
Bases iguais, corta-las:
[tex3]\cancel{2}^{\frac{6+x}{8}}=\cancel{2}^{3,5x}[/tex3]
[tex3]\frac{6+x}{8}=3,5x[/tex3]
[tex3]\frac{6+x}{8}=\frac{35}{10}x[/tex3]
Agora é só operar e isolar [tex3]x[/tex3].
[tex3]10\cdot(6+x)=8\cdot(35x)[/tex3]
[tex3]60+10x=280x[/tex3]
[tex3]60=280x-10x[/tex3]
[tex3]270x=60[/tex3]
[tex3]x=\frac{60}{270}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{x=\frac{2}{9}}}[/tex3]
Exemplo 7:
Vamos ver um exemplo que irá precisar da fórmula de Báscara para resolver:
[tex3]\boxed{3^{x^2-x-6}=1}[/tex3]
Precisamos igualar as bases! Mas, nenhum dos lados da igualdade pode ser fatorado 🙁
Iremos usar uma propriedade que aprendemos na lição passada: qualquer número elevado na potência zero vale 1 ([tex3]x^0=1[/tex3]).
Então, o lado direito da igualdade pode ser escrito como [tex3]3^0[/tex3].
[tex3]3^{x^2-x-6}=3^0[/tex3]
Agora, com as bases igualadas, vamos cortá-las:
[tex3]x^2-x-6=0[/tex3]
Esta é uma equação do segundo grau. Vamos aplicar a fórmula de Báscara para achar as suas raízes:
[tex3]x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}=\boxed{\boxed{\begin{cases}x’=-2\\x”=3\end{cases}}}[/tex3]
Esta é a solução! [tex3]x[/tex3] pode ser qualquer um desses 2 valores.
Exemplo 8:
Último exemplo, agora:
[tex3]\boxed{3\cdot 2^{x+3}=192}[/tex3]
A única diferença deste exemplo é que antes de fatorar para tentar igualar as bases temos que “passar” o três que está multiplicando para o lado direito dividindo:
[tex3]2^{x+3}=\frac{192}{3}[/tex3]
Efetuando o cálculo:
[tex3]2^{x+3}=64[/tex3]
Agora sim!!! Fatoramos para igualar as bases:
[tex3]2^{x+3}=2^6[/tex3]
Cortando:
[tex3]\cancel{2}^{x+3}=\cancel{2}^6[/tex3]
[tex3]x+3=6[/tex3]
[tex3]x=6-3[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{x=3}}[/tex3]
Faça agora alguns exercícios que utilizam este mesmo método para resolução. Após isso veja mais exemplos resolvidos com outros métodos de resolução.