05 – Soma dos Termos de uma P.G. Infinita

Quando temos uma PG decrescente ([tex3]0<q<1[/tex3]) podemos dizer que esta tem infinitos termos.

– Ué? Como assim?

Veja no exemplo a PG de primeiro termo igual a [tex3]4[/tex3] e razão [tex3]q=\frac{1}{2}[/tex3]:

[tex3]4,\,\,2,\,\,1,\,\,\frac{1}{2},\,\,\frac{1}{4},\,\,\frac{1}{8},\,\,\frac{1}{16},\,\,\frac{1}{32},\,\,\frac{1}{64},\,\,\frac{1}{128},\,\,\frac{1}{256},\,\,\frac{1}{512},\,\,\frac{1}{1024}[/tex3]

Note que a cada termo que passa vai diminuindo mais e mais, chegando quase perto de zero. O termo [tex3]a_{12}[/tex3], que vale [tex3]\frac{1}{512}[/tex3] passando para decimais vale quase [tex3]0,002[/tex3], e o termo [tex3]a_{13}[/tex3] é mais ou menos [tex3]0,001[/tex3], quanto mais alta a ordem do termo mais perto de zero ele chega, passando a ser insignificante na soma final.

Por isso que podemos fazer a soma de todos os termos desta PG, mesmo ela tendo um número infinito de termos.

Vamos fazer a dedução da fórmula começando com a fórmula da soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos (que já mostramos):

[tex3]\Large{\boxed{S_n=\frac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}}}[/tex3]

Sabemos que a razão de uma PG infinita tem que ser [tex3]1<q<0[/tex3] (no nosso exemplo, 1/2). Também sabemos que [tex3]n[/tex3] significa a ordem do último termo (sexto, sétimo, oitavo, etc), que na nossa PG é [tex3]\infty[/tex3] (infinito), então com certeza é um número muito grande. Quanto você acha que vale [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] elevado a um expoente muito grande?

Exemplo:  [tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^{1000}=\frac{1}{2^{1000}}[/tex3]

Veja que o denominador da fração é o [tex3]2[/tex3] elevado a potência mil, ou seja, essa potência é muito grande, o que faz a divisão de [tex3]1[/tex3] por esse número muito grande resultar um número extremamente pequeno, insignificante.

Podemos dizer que é ZERO. E ao substituirmos na fórmula, a razão elevado na [tex3]n[/tex3] ([tex3]q^n[/tex3]), por ZERO, temos:

[tex3]S_n=\frac{a_1(0-1)}{q-1}=\frac{a_1(-1)}{q-1}=\frac{-a_1}{q-1}[/tex3]

Chegamos em uma fórmula que é um tanto quanto “bonitinha”. Mas para melhorá-la, vamos multiplicar “em cima” e “embaixo” da divisão por [tex3]-1[/tex3]

[tex3]\Large{\boxed{S_n=\frac{a_1}{1-q}}}[/tex3]

Agora chegamos na fórmula final da soma dos termos de uma PG infinita. Tente resolver o exercício abaixo e depois veja a resolução.


1) Dada a PG com [tex3]a_2=5[/tex3] e [tex3]q=\frac{2}{5}[/tex3], calcule a soma dos infinitos termos.

– Primeiro temos que calcular o valor de a1. Para isso vamos usar a fórmula do termo geral:

[tex3]a_2=a_1\cdot q\\5=a_1\cdot\frac 25\\a_1=\frac{25}{2}[/tex3]

– Agora é só colocar na fórmula da soma:

[tex3]S_n=\frac{\frac{25}{2}}{1-\frac 25}=\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5-2}{5}}[/tex3]

[tex3]S_n=\frac{\,\,\,\frac{25}{2}\,\,\,}{\frac{3}{5}}=\frac{25}{2}\cdot\frac{5}{3}[/tex3]

[tex3]S_n=\frac{125}{6}[/tex3]


2) Sendo [tex3]x\,\,=\,\,\frac 56\,\,+\,\,\frac{10}{18}\,\,+\,\,\frac{20}{54}\,\,+\,\,…[/tex3], calcule o valor de X:

  (A) [tex3]\frac{17}{6}[/tex3]

  (B) [tex3]\frac{15}{6}[/tex3]

  (C) [tex3]\frac{15}{4}[/tex3]

  (D) [tex3]\frac{95}{54}[/tex3]

  (E) impossível de se calcular

  – Esta é uma clássica de vestibular. Não é dito no problema que se trata de uma PG, você deve descobrir. O termo a1 vale 5/6, e a razão nós calculamos dividindo o segundo termo pelo primeiro:

[tex3]q=\frac{\,\,\,\frac{10}{18}\,\,\,}{\frac{5}{6}}=\frac{10}{18}\cdot\frac 65=\frac{60}{90}=\frac 23[/tex3]

  – Agora é só substituir na fórmula da soma infinita:

[tex3]S_n=\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac 23}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{3-2}{3}}=\frac 56\cdot\frac 32[/tex3]

[tex3]S_n=\frac{15}{6}[/tex3]