04 – Soma dos Termos de uma P.G. Finita

Assim como a Progressões Aritméticas, existem também exercícios que pedem para calcular a soma dos termos de uma PG. Este também pode ser calculado manualmente, mas quando for pedido um número muito alto de termos usamos uma fórmula.

Esta fórmula é um pouco menos “intuitiva” do que a fórmula da PA. Portanto, é um pouco mais difícil de se entender de onde vem, mas preste atenção na demonstração, que não é impossível.

Para representarmos a soma dos “n” primeiros termos, usamos a sigla Sn. Então:

[tex3]S_n=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+\ldots+a_n[/tex3]

Isto é o que queremos determinar, agora multiplicamos ambos os lados pela razão(q).

[tex3]S_n\cdot q=(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+\ldots+a_n)\cdot q[/tex3]

[tex3]S_n\cdot q=a_1\cdot q+a_2\cdot q+a_3\cdot q+a_4\cdot q+a_5\cdot q+\ldots +a_n\cdot q[/tex3]

Sabemos que se o número for multiplicado pela razão, passa a ser o próximo, exemplo: [tex3]a_1\cdot q=a_2[/tex3]

[tex3]S_n\cdot q=a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+\ldots +a_{n+1}[/tex3]

Agora vamos subtrair [tex3]S_n[/tex3] de ambos os lados:

[tex3]S_n\cdot q-S_n=a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+\ldots +a_{n+1}-S_n[/tex3]

[tex3]S_n\cdot q-S_n=a_2+a_3+a_4+\ldots +a_{n+1}-(a_1+a_2+a_3+\ldots +a_n)[/tex3]

[tex3]S_n\cdot q-S_n=a_2+a_3+a_4+\ldots +a_{n+1}-a_1-a_2-a_3-\ldots -a_n[/tex3]

[tex3]S_n \cdot q-S_n=a_{n+1}-a_1[/tex3]

Sabemos que [tex3]a_{n+1}=a_1\cdot q^n[/tex3] , substituindo, temos:

[tex3]S_n \cdot q-S_n=a_1\cdot q^n-a_1[/tex3]

Colocando [tex3]S_n[/tex3] e [tex3]a_1[/tex3] em evidência, temos:

[tex3]S_n(q-1)=a_1(q^n-1)[/tex3]

Agora isolando [tex3]Sn[/tex3]:

[tex3]\Large S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}[/tex3]

Esta é a fórmula da soma dos “n” primeiros termos de uma PG. Tente agora fazer o exercício abaixo e depois veja a resolução.


1) A soma dos seis primeiros termos da seqüência

definida por [tex3]a_n=2^{n-\frac 12}[/tex3], com [tex3]n\in+N^*[/tex3], é

  (A) [tex3]2^{\frac{11}{2}}[/tex3]

  (B) [tex3]31\sqrt 2[/tex3]

  (C) [tex3]63\sqrt 2[/tex3]

  (D) [tex3]99\sqrt 2[/tex3]

  (E) [tex3]512\sqrt 2[/tex3]

  – Para aplicarmos a fórmula da soma devemos saber o valor de a1 e o valor da razão

[tex3]a_1=2^{1-\frac 12}[/tex3]

[tex3]a_1=2^{\frac 12}[/tex3]

[tex3]a_1=\sqrt 2[/tex3]

[tex3]a_2=2^{2-\frac 12}[/tex3]

[tex3]a_2=2^{\frac 32}[/tex3]

[tex3]a_2=(\sqrt 2)^3[/tex3]

[tex3]a_2=2\sqrt{2}[/tex3]

– Agora, sabendo [tex3]a_1[/tex3] e [tex3]a_2[/tex3] podemos achar a razão:

 [tex3]q=\frac{a_2}{a_1}[/tex3]

[tex3]q=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}[/tex3]

[tex3]q=2[/tex3]

  – Utilizando a fórmula da Soma, vamos calcular [tex3]S_6[/tex3]:

[tex3]S_6=\frac{\sqrt 2(2^6-1)}{2-1}[/tex3]

[tex3]S_6=\frac{\sqrt 2(64-1}{1}[/tex3][tex3]S_6=63\sqrt 2[/tex3]

Resposta certa, letra “C”


Vamos agora seguir o estudo com soma dos termos de uma PG infinita.
Clique na seta avançar abaixo e bons estudos.