06 – Interpolação de Meios Geométricos

Se você já viu a matéria de “Interpolação…” para as progressões aritméticas, não terá nenhuma dificuldade por aqui.

Novamente a única teoria que devemos saber é a interpretação de “INTERPOLAÇÃO DE MEIOS GEOMÉTRICOS”

Interpolação = Colocar entre; colocar no meio de.
… de meios geométricos = Pois os termos inseridos no meio formam uma PG.

Vamos ver uns exemplos:

1) (PUC) Para interpolar 3 meios geométricos entre [tex3]6[/tex3] e [tex3]4374[/tex3], a razão deve ser

    (A) [tex3]27[/tex3]

    (B) [tex3]9\sqrt{3}[/tex3]

    (C) [tex3]9[/tex3]

    (D) [tex3]3\sqrt{3}[/tex3]

    (E) [tex3]3[/tex3]

        – Se iremos colocar três meios entre os dois valore dados, 6 e 4374, então:

6 __ __ __ 4374

– Informações do problema:

[tex3]a_1=6[/tex3]

[tex3]a_5=4374[/tex3]

– Vamos aplicar a fórmula do termo geral:

[tex3]a_5=a_1\cdot q^{5-1}[/tex3]

[tex3]4374=6\cdot q^4[tex3]

[tex3]729=q^4[/tex3]

[tex3]q=\sqrt[4]{729}[/tex3]

[tex3]q=\sqrt[4]{3^6}[/tex3]

[tex3]q=\sqrt[4]{3^4\cdot 3^2}[/tex3]

[tex3]q=3\sqrt[4]{3^2}[/tex3]

[tex3]q=3+\sqrt 3[/tex3]

Resposta certa, letra “D”.


2) Quantos meios geométricos devemos interpolar entre [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] e [tex3]\frac{32}{243}[/tex3] para obtermos uma PG de razão [tex3]\frac{\sqrt 6}{3}[/tex3].

(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(E) 10

– Informações:

[tex3]a_1=\frac 23[/tex3]

[tex3]a_n=\frac{32}{243}[/tex3]

[tex3]q=\frac{\sqrt 6}{3}[/tex3]

– Aplicando a fórmula do termo geral para [tex3]a_n[/tex3]:

[tex3]\Large a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/tex3]

[tex3]\frac{32}{243}=\frac 23\cdot\left(\frac{\sqrt 6}{3}\right)^{n-1}[/tex3]

[tex3]\frac{32}{243}\cdot\frac{3}{2}=\left(\frac{\sqrt 2\cdot \sqrt 3}{3}\right)^{n-1}[/tex3]

Agora tem um truque, vamos multiplicar em cima e embaixo da fração dos parênteses por [tex3]\sqrt 3[/tex3]

[tex3]\frac{16}{81}=\left(\frac{\sqrt 2\cdot\sqrt 3}{3}\cdot\frac{\sqrt 3}{\sqrt 3}\right)^{n-1}[/tex3]

[tex3]\frac{2^4}{3^4}=\left(\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3}\right)^{n-1}[/tex3]

[tex3]\left(\frac{2}{3}\right)^4=\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^{n-1}[/tex3]

[tex3]\left(\frac{2}{3}\right)^4=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{n-1}{2}}[/tex3]

[tex3]4=\frac{n-1}{2}[/tex3]

[tex3]8=n-1[/tex3]

[tex3]n=9[/tex3]

– Agora sabemos que a PG terá 9 termos, portanto devemos interpolar 7 termos entre os dois já dados.

Resposta certa, letra “B”.