07 – Exercícios Resolvidos

Vamos ver uma série de exercícios sobre a matéria de Progressão Geométrica.


1) O valor positivo de x que torna a sucessão [tex3]\left(\frac 12,\,\,\,x,\,\,\,\frac 98\right)[/tex3] uma PG é:

(A) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

(B) [tex3]\frac 14[/tex3]

(C) [tex3]\frac 32[/tex3]

(D) [tex3]\frac 34[/tex3]

(E) [tex3]\frac 38[/tex3]


2) (UFRGS) Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois primeiros é [tex3]24[/tex3]. Nessa progressão a razão é

(A) [tex3]1[/tex3]
(B) [tex3]2[/tex3]
(C) [tex3]3[/tex3]
(D) [tex3]4[/tex3]
(E) [tex3]5[/tex3]


3) O valor de [tex3]x[/tex3] para que a seqüência [tex3](x+1,\,\,x,\,\,x+2)[/tex3] seja uma PG é

(A) [tex3]\frac 12[/tex3]
(B) [tex3]\frac 23[/tex3]
(C) [tex3]-\frac 23[/tex3]
(D) [tex3]-\frac 12[/tex3]
(E) [tex3]3[/tex3]


4) O conjunto solução da equação [tex3]x+\frac x3+\frac x9+\ldots =30[/tex3] é

(A) [tex3]10[/tex3]
(B) [tex3]15[/tex3]
(C) [tex3]20[/tex3]
(D) [tex3]25[/tex3]
(E) [tex3]30[/tex3]


5) A soma dos termos de uma PG é expressa por [tex3]S_n=-3+3^{n+1}[/tex3]. A razão da progressão é:

(A) [tex3]2[/tex3]

(B) [tex3]3[/tex3]

(C) [tex3]6[/tex3]

(D) [tex3]\sqrt 2[/tex3]

(E) [tex3]\sqrt 6[/tex3]


6) A soma de três números que formam uma PG crescente é 19 e, se subtrairmos 1 do primeiro, sem alterar os outros dois, eles passam a constituir uma PA. A diferença entre a soma dos dois primeiros números e o terceiro é:

(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2


7) A seqüência [tex3](8x,\,5x-3,\,x+3,\,x)[/tex3] é uma progressão geométrica, de termos positivos, cuja razão é

(A) [tex3]\frac 14[/tex3]
(B) [tex3]\frac 13[/tex3]
(C) [tex3]\frac 12[/tex3]
(D) [tex3]2[/tex3]
(E) [tex3]3[/tex3]


8) A soma dos termos da PG (5, 50, …, 500000) é

(A) 222 222
(B) 333 333
(C) 444 444
(D) 555 555
(E) 666 666


9) Ao interpolarmos 5 meios geométricos entre 1458 e 2, encontramos uma PG de razão:

(A) [tex3]\pm\frac 12[/tex3]

(B) [tex3]\pm\frac 13[/tex3]

(C) [tex3]\pm\frac 14[/tex3]

(D) [tex3]\pm\frac 15[/tex3]

(E) [tex3]\pm\frac 16[/tex3]


10) A razão de uma PG cujo termo geral é [tex3]a_n=2\cdot\sqrt{2^{n-3}}[/tex3] é

(A) [tex3]\sqrt 2[/tex3]

(B) [tex3]\frac{\sqrt 2}{3}[/tex3]

(C) [tex3]\frac{3\sqrt 2}{2}[/tex3]

(D) [tex3]2\sqrt 2[/tex3]

(E) [tex3]4\sqrt 2[/tex3]


11) (PUC) De acordo com a disposição dos números abaixo,

exepa12.gif (1430 bytes)

A soma dos elementos da décima linha vale:

(A) 2066
(B) 5130
(C) 10330
(D) 20570
(E) 20660


12) (FUVEST) Seja ([tex3]a_n[/tex3]) uma progressão geométrica de primeiro termo [tex3]a_1=1[/tex3] e razão [tex3]q^2[/tex3], onde [tex3]q[/tex3] é um número inteiro maior que [tex3]1[/tex3]. Seja ([tex3]b_n[/tex3]) uma progressão geométrica cuja razão é [tex3]q[/tex3]. Sabe-se que [tex3]a_{11} = b_{17}[/tex3]. Neste caso:

a) Determine o primeiro termo [tex3]b_1[/tex3] em função de [tex3]q[/tex3].

b) Existe algum valor de [tex3]n[/tex3] para o qual [tex3]a_n = b_n[/tex3]?

c) Que condição [tex3]n[/tex3] e [tex3]m[/tex3] devem satisfazer para que [tex3]a_n=b_m[/tex3]?


13) (UERJ) A figura a seguir mostra um molusco Triton tritoris sobre uma estrela do mar.

Um corte transversal nesse molusco permite visualizar, geometricamente, uma seqüência de semicírculos. O esquema abaixo indica quatro desses semicírculos.

Admita que as medidas dos raios [tex3](\overline{AB},\hspace{5pt}\overline{BC},\hspace{5pt}\overline{CD},\hspace{5pt}\overline{DE},\hspace{5pt}\overline{EF},\hspace{5pt}\overline{FG},…)[/tex3] formem uma progressão tal que

[tex3]\frac{\hspace{2pt}\overline{AB}\hspace{2pt}}{\overline{BC}} = \frac{\hspace{2pt}\overline{BC}\hspace{2pt}}{\overline{CD}} = \frac{\hspace{2pt}\overline{CD}\hspace{2pt}}{\overline{DE}} = \frac{\hspace{2pt}\overline{DE}\hspace{2pt}}{\overline{EF}} = …[/tex3]

Assim, considerando [tex3]\overline{AB}=2[/tex3], a soma [tex3]\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DE}+…[/tex3]será equivalente a

(A) [tex3]2+\sqrt{3}[/tex3]
(B) [tex3]2+\sqrt{5}[/tex3]
(C) [tex3]3+\sqrt{3}[/tex3]
(D) [tex3]3+\sqrt{5}[/tex3]


14) (UFRGS) Numa progressão aritmética de razão 1/2, o primeiro, o sétimo e o décimo nono termo formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é

(A) 17.
(B) 18.
(C) 19.
(D) 20.
(E) 21.


GABARITO
01-D 04-C 07-C 10-A 13-D
02-C 05-B 08-D 11-C
03-C 06-D 09-B 12 –

RESOLUÇÃO

Questão 1

O valor positivo de x que torna a sucessão [tex3]\left(\frac 12,\,\,\,x,\,\,\,\frac 98\right)[/tex3] uma PG é:


– Vamos usar a propriedade fundamental de uma PG para calcular o valor de [tex3]x[/tex3].

[tex3]\frac{\,\,x\,\,}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{9}{8}}{\,\,x\,\,}[/tex3]

[tex3]2x=\frac{9}{8x}[/tex3]

[tex3]16x^2=9[/tex3]

[tex3]x^2=\frac{9}{16}[/tex3]

[tex3]x=\pm\sqrt{\frac{9}{16}}[/tex3]

[tex3]x=\pm\frac{3}{4}[/tex3]

Como o exercício pede só o valor positivo, a resposta é letra “D”.


Questão 2

(UFRGS) Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois primeiros é 24. Nessa progressão a razão é

– As informações do problema são:

[tex3]a_1=2q[/tex3]

[tex3]S_2=24[/tex3]

[tex3]q=?[/tex3]

– Sabemos que [tex3]S_2=a_1+a_2[/tex3] e iremos trabalhar em cima disto. Usando a fórmula do termo geral para o segundo termo, temos:

[tex3]a_2=a_1\cdot q[/tex3]

Vamos substituir o valor de [tex3]a_1[/tex3] por [tex3]2q[/tex3].

[tex3]a_2=2q\cdot q[/tex3]

[tex3]a_2=2q^2[/tex3]

– Voltando à nossa fórmula de trabalho:

[tex3]S_2=a_1+a_2[/tex3]

Vamos substituir os valores conhecidos

[tex3]24=2q+2q^2[/tex3]

[tex3]2q+2q^2-24=0[/tex3]

Chegamos numa equação do segundo grau, usando Bhaskara:

[tex3]q’=3[/tex3]

[tex3]q”=-4[/tex3]

Como o exercício diz que a razão é positiva,
Resposta certa, letra “C”.


Questão 3

O valor de x para que a seqüência [tex3](x+1,\,\,x,\,\,x+2)[/tex3] seja uma PG é

– Novamente iremos utilizar a propriedade fundamental de uma PG:

[tex3]\frac{x}{x+1}=\frac{x+2}{x}[/tex3]

Desenvolvendo esta equação:

[tex3]x^2=(x+2)(x+1)[/tex3]

[tex3]x^2=x^2+3x+2[/tex3]

[tex3]0=3x+2[/tex3]

[tex3]3x=-2[/tex3]

[tex3]x=-\frac{2}{3}[/tex3]

Resposta certa, letra “C”.


Questão 4

O conjunto solução da equação [tex3]x+\frac x3+\frac x9+…=30[/tex3] é

– Note que o lado esquerdo da igualdade é uma PG, com [tex3]a_1=x[/tex3] e [tex3]q=\frac{1}{3}[/tex3]. Como todos os termos estão sendo somados, temos uma soma infinita desta PG. Vamos utilizar a fórmula de soma infinita:

[tex3]S_n=\frac{a_1}{1-q}[/tex3]

[tex3]S_n=\frac{x}{1-\frac 13}[/tex3]

[tex3]S_n=\frac{\,\,x\,\,}{\frac 23}[/tex3]

[tex3]S_n=\frac{3x}{2}[/tex3]

– Vamos voltar a equação do exercício e substituir o valor recém calculado:

[tex3]x+\frac x3+\frac x9+…=30[/tex3]

[tex3]\frac{3x}2=30[/tex3]

[tex3]3x=60[/tex3]

[tex3]x=\frac{60}3=20[/tex3]

Resposta certa, letra “C”.


Questão 5

A soma dos termos de uma PG é expressa por [tex3]S_n=-3+3^{n+1}[/tex3]. A razão da progressão é:

– O exercício dá a fórmula geral das soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos e pede sua razão. Para calcular a razão devemos calcular [tex3]a_1[/tex3] e [tex3]a_2[/tex3] para dividirmos e descobrir sua razão.

– Se substituírmos o valor de [tex3]n[/tex3] por [tex3]1[/tex3], iremos calcular a soma dos [tex3]1[/tex3] primeiros termos, ou seja, o próprio primeiro termo:

[tex3]S_1= -3+3^{1+1}[/tex3]

[tex3]S_1= -3+3^2[/tex3]

[tex3]S_1= -3+9[/tex3]

[tex3]S_1= 6[/tex3]

[tex3]a_1=6[/tex3]

– Se substituírmos [tex3]n[/tex3] por [tex3]2[/tex3], iremos calcular a soma dos [tex3]2[/tex3] primeiros termos, ou seja, [tex3]a_1+a_2[/tex3].

[tex3]S_2= -3+3^{2+1}[/tex3]

[tex3]S_2= -3+3^3[/tex3]

[tex3]S_2= -3+27[/tex3]

[tex3]S_2= 24[/tex3]

– Substituindo o que vale [tex3]S_2[/tex3], temos:

[tex3]S_2= 24[/tex3]

[tex3]a_1+a_2=24[/tex3]

[tex3]6+a_2=24[/tex3]

[tex3]a_2=24-6[/tex3]

[tex3]a_2=18[/tex3]

Agora dividindo o segundo pelo primeiro termo temos a razão:

[tex3]q=\frac{a_2}{a_1}[/tex3]

[tex3]q=\frac{18}{6}[/tex3]

[tex3]q=3[/tex3]

Resposta certa, letra “B”.


Questão 6

A soma de três números que formam uma PG crescente é 19 e, se subtrairmos 1 do primeiro, sem alterar os outros dois, eles passam a constituir uma PA. A diferença entre a soma dos dois primeiros números e o terceiro é:

– Informações:

[tex3]\text{PG}=\{a_1,\,a_2,\,a_3\}[/tex3]

[tex3]a_1+a_2+a_3=19[/tex3]

[tex3]\text{PA}=\{(a_1-1),a_2,a_3\}[/tex3]

– Agora com estas três informações conseguimos estruturar três equações e formar um sisteminha. Com a propriedade fundamental de uma PG tiramos a seguinte equação:

[tex3]\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}[/tex3]

– Com a propriedade fundamental de uma PA tiramos a próxima equação:

[tex3]a_2-(a_1-1)=a_3-a_2[/tex3]

– E a terceira equação já é dada, [tex3]a_1+a_2+a_3=19.[/tex3] Formando o sistema:

[tex3]\begin{cases}\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}\\a_2-(a_1-1)=a_3-a_2\\a_1+a_2+a_3=19\end{cases}[/tex3]

– Um sistema de três equações é um pouco mais demorado de se resolver, mas vamos lá! Primeiro vamos isolar o valor de [tex3]a_1[/tex3] na terceira equação e substituir na segunda:

[tex3]a_1=19-a_2-a_3[/tex3]

Agora vamos substituir este valor na segunda equação e ver no que dá.

[tex3]a_2-(19-a_2-a_3-1)=a_3-a_2[/tex3]

[tex3]a_2-19+a_2+a_3+1=a_3-a_2[/tex3]

Veja que podemos cortar os termos [tex3]a_3[/tex3] , pois temos ambos somando dos dois lados da equação:

[tex3]a_2-19+a_2+1=-a_2[/tex3]

Agora podemos calcular o valor de [tex3]a_2[/tex3]. Vamos isolá-lo.

[tex3]a_2+a_2+a_2=+19-1[/tex3]

[tex3]3a_2=+18[/tex3]

[tex3]a_2=\frac{18}{3}[/tex3]

[tex3]a_2=6[/tex3]

Descobrimos o valor do [tex3]a_2[/tex3]. Vamos voltar na primeira equação deste quadro e substituir o valor dele.

[tex3]a_1=19-6-a_3[/tex3]

[tex3]a_1=13-a_3[/tex3]

Temos [tex3]a_1[/tex3] em função de [tex3]a_3[/tex3], vamos substituir na primeira equação do sistema.

[tex3]\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}[/tex3]

[tex3]\frac{6}{13-a_3}=\frac{a_3}{6}[/tex3]

Agora é só operar e calcular o valor de [tex3]a_3[/tex3].

[tex3]36=a_3\cdot (13-a_3)[/tex3]

[tex3]36=13a_3-(a_3)^2[/tex3]

[tex3](a_3)^2-13a_3+36=0[/tex3]

Caímos em uma equação do segundo grau de variável [tex3]a_3[/tex3] , vamos aplicar Bhaskara.

[tex3]\frac{-(-13)\pm\sqrt{(-13)^2-4\cdot 4\cdot 1\cdot 36}}{2\cdot 1}[/tex3]

[tex3]\frac{13\pm\sqrt{25}}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{13\pm+5}{2}=\begin{cases}\begin{array}{c}a_3’=9\\a_3”=4\end{array}\end{cases}[/tex3]

O problema diz que é uma PG crescente, portanto, se [tex3]a_2=6[/tex3] então o [tex3]a_3[/tex3] tem que ser maior que [tex3]6[/tex3]. Vale só a resposta [tex3]a_3=9[/tex3]. Para calcular o [tex3]a_1[/tex3] voltamos à primeira equação deste quadro.

[tex3]a_1=19-a_2-a_3[/tex3]

[tex3]a_1=19-6-9[/tex3]

[tex3]a_1=4[/tex3]

UFA, tá quase no fim. O exercício pede a diferença entre a soma dos dois primeiros números e o terceiro, portanto:

[tex3](a_1+a_2)-a_3[/tex3]

[tex3](4+6)-9[/tex3]

[tex3]10-9[/tex3]

[tex3]1[/tex3]

Resposta certa, letra “D”


Questão 7

A seqüência [tex3](8x,\,5x-3,\,x+3,\,x)[/tex3] é uma progressão geométrica, de termos positivos, cuja razão é

– Nosso primeiro passo é achar o valor de [tex3]x[/tex3], para depois substituir na progressão e achar a razão.

– Para calcular o [tex3]x[/tex3] vamos usar a propriedade fundamental de uma PG:
[tex3]\frac{5x-3}{8x}=\frac{x}{x+3}[/tex3]

– Agora é só desenvolver e calcular o valor de [tex3]x[/tex3].

[tex3](5x-3)·(x+3)=x\cdot 8x[/tex3]

[tex3]5x^2+15x-3x-9=8x^2[/tex3]

[tex3]5x^2-8x^2 +12x-9=0[/tex3]

[tex3]-3x^2+12x-9=0[/tex3]

Chegamos em uma equação do segundo grau, aplicando Bhaskara:

[tex3]\frac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot(-3)\cdot(-9)}}{2\cdot(-3)}[/tex3]

[tex3]\frac{-12\pm\sqrt{36}}{-6}[/tex3]

[tex3]\frac{-2\pm+1}{-1}[/tex3]

Com isso as nossa raízes são 1 e 3. Qual delas é a que vale? Se substituirmos na PG do exercício o [tex3]x[/tex3] por 1 teremos uma sequência que não é uma PG. Portanto, o valor de [tex3]x[/tex3] é 3.

– Sabendo o valor de [tex3]x[/tex3] vamos substituir na PG e ver como ela é:

[tex3](8x,\,5x-3,\,x+3,\,x)[/tex3]

[tex3](8\cdot 3,\,5\cdot 3-3,\,3+3,\,3)[/tex3]

[tex3](24,\,12,\,6,\,3)[/tex3]

Esta é a PG

– Agora para achar a razão, dividimos o segundo pelo primeiro termo:

[tex3]\frac{12}{24}=\frac 12[/tex3]

Resposta certa, letra “C”.


Questão 8

A soma dos termos da PG (5, 50, …, 500000) é

– Para podermos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PG, devemos saber qual ordem do número 500000 (terceiro, quarto, décimo…). Ou seja, devemos calcular o valor de [tex3]n[/tex3].

– Informações:

[tex3]a_1=5[/tex3]

[tex3]q=10[/tex3]

[tex3]a_n=500000[/tex3]

– Vamos aplicar a fórmula do termo geral: [tex3]a_n=a_1\cdot q^{(n-1)}[/tex3].

Substituindo seus valores:

[tex3]500000=5\cdot 10^{(n-1)}[/tex3]

[tex3]500000=5\cdot 10^{(n-1)}[/tex3]

[tex3]5\cdot 100000=5\cdot 10^{(n-1)}[/tex3]

[tex3]5\cdot 10^5=5\cdot 10^{(n-1)}[/tex3]

[tex3]10^5=10^{(n-1)}[/tex3]

Agora podemos cortar as bases

[tex3]5=n-1[/tex3]

[tex3]n=6[/tex3]

– Agora sim, o termo 500000 é o sexto termo, podemos aplicar a fórmula da soma:

[tex3]S_n=\frac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}[/tex3]

[tex3]S_6=\frac{5\cdot(10^6-1)}{10-1}[/tex3]

[tex3]S_6=\frac{5\cdot(999999)}{9}[/tex3]

[tex3]S_6=5\cdot 111111[/tex3]

[tex3]S_6=555555[/tex3]

Resposta certa, letra “D”.


Questão 9

Ao interpolarmos 5 meios geométricos entre 1458 e 2, encontramos uma PG de razão:

– Informações do problema:

1458 __ __ __ __ __ 2

[tex3]a_1=1458[/tex3]

[tex3]a_7=2[/tex3]

[tex3]q=?[/tex3]

– Esta é a parte mais difícil do problema, ver que o 2 é o sétimo termo. Agora é só aplicar a fórmula do termo geral para o [tex3]a_7[/tex3].

[tex3]a_7=a_1\cdot q^{(7-1)}[/tex3]

[tex3]2=1458\cdot q^6[/tex3]

[tex3]q^6=\frac{2}{1258}=\frac{1}{729}[/tex3]

[tex3]q^6=\left(\frac{1}{3}\right)^6[/tex3]

[tex3]q=\pm\frac 13[/tex3]

Como é um expoente PAR, ao “passá-lo” para o outro lado como raiz, deve-se incluir o sinal de [tex3]\pm[/tex3].

Resposta certa letra “B”.


Questão 10

A razão de uma PG cujo termo geral é [tex3]a_n=2\cdot\sqrt{2^{n-3}}[/tex3] é

– Para calcular-mos a razão, devemos saber no mínimo o primeiro e o segundo termo. Substituindo n por 1 e por 2 na fórmula do termo geral dada, temos:

[tex3]a_1=2\cdot\sqrt{2^{1-3}}[/tex3]

[tex3]a_1=2\cdot\sqrt{2^{-2}}[/tex3]

[tex3]a_1=2\cdot\sqrt{\frac{1}{4}}[/tex3]

[tex3]a_1=2\cdot\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{a_1=1}[/tex3]

[tex3]a_2=2\cdot\sqrt{2^{2-3}}[/tex3]

[tex3]a_2=2\cdot\sqrt{2^{-1}}[/tex3]

[tex3]a_2=2\cdot\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex3]

[tex3]a_2=\frac{2}{\sqrt 2}[/tex3]

[tex3]a_2=\frac{2}{\sqrt 2}\cdot\frac{\sqrt 2}{\sqrt 2}[/tex3]

[tex3]\boxed{a_2=\sqrt 2}[/tex3]

– Agora, já sabendo a1 e a2, podemos calcular a razão:

[tex3]q=\frac{a_2}{a_1}[/tex3]

[tex3]q=\frac{\sqrt 2}{1}[/tex3]

[tex3]q=\sqrt 2[/tex3]

Resposta certa, letra “A”.


Questão 11

(PUC) De acordo com a disposição dos números abaixo,

exepa12.gif (1430 bytes)

    A soma dos elementos da décima linha vale:

– Questão muito bem elaborada! Note que cada linha desta “pirâmide” é uma PA de razão 2. Cada linha tem um elemento a mais do que a linha anterior, sendo que sua ordem é igual ao número de termos (a segunda tem 2 termos a quinta tem 5 termos a décima tem 10 termos).
Veja também que a primeira coluna (que determina o primeiro elemento de cada linha) segue como uma PG de razão 2 e [tex3]a_1=2[/tex3]. Então, o primeiro termo da décima linha será ([tex3]a_{10}[/tex3]):

[tex3]a_{10}=a_1\cdot q^9[/tex3]

[tex3]a_{10}=2\cdot 2^9[/tex3]

[tex3]a_{10}=1024[/tex3]

– A décima linha será uma PA com [tex3]a_1=1024[/tex3], [tex3]r=2[/tex3] e terá 10 termos. Antes de calcularmos a soma (que o exercício pede) devemos calcular o valor do décimo termo desta PA:

[tex3]a_{10}=a_1+9\cdot r[/tex3]

[tex3]a_{10}=1024+9\cdot 2[/tex3]

[tex3]a_{10}=1024+18[/tex3]

[tex3]a_{10}=1042[/tex3]

– Portanto, a soma dos termos (de acordo com a fórmula):

[tex3]S_{10}=(a_1+a_{10})\cdot \frac{10}{2}[/tex3]

[tex3]S_{10}=(1024+1042)\cdot 5[/tex3]

[tex3]S_{10}=(2066)\cdot 5[/tex3]

[tex3]S_{10}=10330[/tex3]

Resposta certa, letra “C”.


GABARITO
01-D 04-C 07-C 10-A
02-C 05-B 08-D 11-C
03-C 06-D 09-B