03 – Exercícios Resolvidos de P.G.

Teste seus conhecimentos com os exercícios indicados abaixo e veja a resolução logo abaixo.

Estes exercícios resolvidos de progressão geométrica são clássicos nos vestibulares do Brasil.


1) Sendo 32 o primeiro termo de uma PG e 2 é a sua razão, calcule o termo de ordem 8.


2) (UCS) O valor de x para que a seqüência [tex3](x+1,\,x,\,x+2)[/tex3] seja uma PG é:

a) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

b)[tex3]\frac{2}{3}[/tex3]

c) [tex3]-\frac{2}{3}[/tex3]

d) [tex3]-\frac{1}{2}[/tex3]

d) [tex3]3[/tex3]


3) Em uma PG o primeiro termo é [tex3]\sqrt{2}[/tex3], e o terceiro, [tex3]\sqrt[14]{2^9}[/tex3]. O valor do décimo termo é

a) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

b) [tex3]4[/tex3]

c) [tex3]2\sqrt[7]{2}[/tex3]

d) [tex3]2\sqrt{2}[/tex3]

e) [tex3]4\sqrt{2}[/tex3]


4) (UFPA) Na PG de termos positivos [tex3](a,\,b,\,c)[/tex3], temos:

[tex3]\begin{cases}a+b+c=91 \\ a\cdot c=441\end{cases}[/tex3]

Então, [tex3](a+c)[/tex3] é igual a:

a) 21
b) 49
c) 53
d) 63
e) 70


5) (FUVEST) Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. calcule a razão da progressão.

a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 11


GABARITO
1) a8 = 4096 2) C 3) C 4) E 5) A

Exercícios Resolvidos de Progressão Geométrica

1) Sendo 32 o primeiro termo de uma PG e 2 é a sua razão, calcule o termo de ordem 8.

  – Informações do exercício:

[tex3]a_1=32\,\,\,\,\,\,q=2\,\,\,\,\,\,a_8=?\,\,\,\,\,\,n=8[/tex3]

  – Vamos usar a fórmula do termo geral:

[tex3]a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\a_8=a_1\cdot q^{8-1}\\a_8=32\cdot 2^7\\a_8=32\cdot 128\\a_8=4096[/tex3]


2) (UCS) O valor de [tex3]x[/tex3] para que a seqüência [tex3](x+1,\,x,\,x+2)[/tex3] seja uma PG é:

  – Vamos utilizar a propriedade básica de uma PG.

[tex3]\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}[/tex3]

– Substituindo pelos nosso valores:

[tex3]\frac{x}{x+1}=\frac{x+2}{x}\\x^2=(x+2)(x+1)\\x^2=x^2+3x+2\\-3x=2\\x=-\frac{2}{3}[/tex3]

Resposta certa: letra C.


3) Em uma PG o primeiro termo é [tex3]\sqrt{2}[/tex3], e o terceiro, [tex3]\sqrt[14]{s^9}[/tex3]. O valor do décimo termo é:

  – Informações:

[tex3]a_1=\sqrt{2}\,\,\,\,\,\,a_3=\sqrt[14]{2^9}\,\,\,\,\,\,a_{10}=?[/tex3]

– Vamos aplicar a fórmula do termo geral para achar a razão:

[tex3]a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\a_3=a_1\cdot q^{3-1}\\\sqrt[14]{2^9}=\sqrt{2}\cdot q^2\\\frac{\sqrt[14]{2^9}}{\sqrt{2}}=q^2\\\\q=\sqrt{\frac{\sqrt[14]{2^9}}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt[28]{2^9}}{\sqrt[4]{2}}=\frac{2^{\frac{9}{28}}}{2^{\frac{1}{4}}}=2^{\frac{9}{28}-\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{14}}[/tex3]

– Agora que encontramos a razão, podemos aplicar a fórmula do termo geral para encontrar o décimo termo:

[tex3]a_{10}=a_1\cdot q^{10-1}\\a_{10}=\sqrt{2}\cdot\(2^{\frac{1}{14}}\)^9\\a_{10}=2^{\frac{1}{2}\cdot 2^{\frac{9}{14}}}\\a_{10}=2^{\frac{1}{2}+\frac{9}{14}}\\a_{10}=2^{\frac{8}{7}}\\a_{10}=\sqrt[7]{2^8}\\a_{10}=\sqrt[7]{2^7\cdot 2}\\a_{10}=2\sqrt[7]{2}[/tex3]

Resposta certa: letra C.


4) (UFPA) Na PG de termos positivos [tex3](a,\,b,\,c)[/tex3], temos:

[tex3]\begin{cases}a+b+c=91 \\ a\cdot c=441\end{cases}[/tex3]

Então, [tex3](a+c)[/tex3] é igual a:

  – Informações:

[tex3]a_1=a\,\,\,\,a_2=b\,\,\,\,a_3=c[/tex3]

[tex3]\begin{cases}a+b+c=91 \hspace{20pt}{\color{red}\text{(1)}}\\ a\cdot c=441\hspace{34pt}{\color{red}\text{(2)}}\\a+c=?\end{cases}[/tex3]

– O que queremos encontrar é o valor de (a+c). Portanto, vamos utilizar a equação (1) e isolar o valor de (a+c):

[tex3]a+b+c=91\hspace{20pt}{\color{red}\text{(3)}}\\a+c=91-b[/tex3]

– Então, se descobrirmos o valor de b podemos substituir nesta fórmula e achar o que é pedido. Para isso, vamos pegar a equação (2) e substituir o termo c, que é o a3, pelo seu equivalente na fórmula geral:

[tex3]a_3=a_1\cdot q^{3-1}\\c=a\cdot q^2[/tex3]

Podemos isolar o valor de c da equação (2) e substituir na expressão acima:

[tex3]\overbrace{\frac{441}{a}}^{\text{eq. (2)}}=a\cdot q^2\\441=a\cdot a\cdot q^2\\a^2\cdot q^2=441\\(a\cdot q)^2=441\\a\cdot q=21\hspace{20pt}{\color{red}\text{(4)}}[/tex3]

– Como o termo b é o segundo termo da progressão, então:

[tex3]b=a\cdot q^{2-1}\\b=a\cdot q[/tex3]

Usando a equação (4):

[tex3]b=a\cdot q\\\boxed{b=21}[/tex3]

– Substituindo esse valor de b na equação (3):

[tex3]a+c=91-b\\a+c=91-21\\a+c=70[/tex3]

Resposta certa: letra E.


5) (FUVEST) Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. calcule a razão da progressão.

– Informações:

[tex3]a_1+a_2=1\,\,\,\,\,\,a_3+a_4=9\,\,\,\,\,\,a=?[/tex3]

– Vamos substituir todos os termos das duas equações acima pelos seus equivalentes na fórmula do termo geral:

[tex3]a_2=a_1\cdot q\\a_3=a_1\cdot q^2\\a_ 4=a_1\cdot q^3[/tex3]

Trocando os valores das equações dadas no enunciado pelos termos acima, ficamos com o seguinte sisteminha de equações:

[tex3]\begin{cases}a_1+a_1\cdot q=1 \\ a_1\cdot a^2+a_1\cdot q^3=9\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}a_1(1+q)=1\hspace{20pt}{\color{red}\text{(1)}}\\ a_1(q^2+q^3)=9\hspace{20pt}{\color{red}\text{(2)}}\end{cases}[/tex3]

– Vamos dividir a equação (2) pela (1):

[tex3]\frac{q^2+q^3}{1+q}=9\\q^2+q^3=9+9q\\q^3+q^2-9q-9=0[/tex3]

– Resolvendo esta equação do segundo grau, achamos as raízes valendo -1, -3 e 3. O problema diz que os termos desta PG são positivos, portanto o único valor que a razão pode ser é 3.

Resposta certa: letra A.


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