04 – Soma dos “n” Primeiros Termos

Em um vestibular, pode também ser pedido que você calcule a soma dos termos de uma PA. Pode ser pedido a soma dos 25 primeiros termos, ou dos 200 primeiros termos.

Estas somas são simbolizadas por [tex3]S_{25}[/tex3] (soma dos 25 primeiros termos), por [tex3]S_{200}[/tex3] (soma dos 200 primeiros termos) ou por [tex3]S_n[/tex3] (soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos). Vamos ver um exemplo:

[tex3](1,\,3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,13,\,15,\,17,\,19)[/tex3]

Esta progressão possui 10 termos, com [tex3]a_1=1[/tex3], [tex3]a_{10}=19[/tex3] e [tex3]r=2[/tex3]. Se quiséssemos saber a soma dos 10 primeiros termos desta PA, poderíamos calcular manualmente, ou seja, [tex3]1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100[/tex3]. Mas, se fosse pedido a soma dos 145 primeiros termos?? BAH, manualmente iria demorar muito.

Vamos ver se existe uma maneira mais prática.

Observe quanto vale a soma do primeiro com o último termo desta PA:

somapa01.gif (1817 bytes)

Agora, veja a soma do segundo com o penúltimo:

somapa02.gif (2171 bytes)

E a soma do terceiro com o antepenúltimo, do quarto com o antes do antepenúltimo …

somapa03.gif (3372 bytes)

Note, que a soma 20 apareceu exatamente 5 vezes. Ao invés de somar termo a termo, poderíamos somar 5 vezes o 20, ou seja, [tex3]5\times 20=100[/tex3] (mesmo resultado).

Agora, pense!!! Por que que apareceu cinco vezes a soma = 20?????

Isto mesmo, pois tínhamos 10 termos, e como pegamos eles de 2 em 2, é óbvio que a soma iria aparecer um número de vezes igual a metade do número de termos!

E agora, se fosse uma progressão com 100 elementos? Deveríamos proceder da mesma maneira!
A soma do primeiro com o último iria se repetir por 50 vezes (metade de 100), portanto, matematicamente falando teríamos:

[tex3]S_{100}=(a_1+a_{100})\cdot 50[/tex3]

Para concluir. Se tivéssemos que calcular a soma dos elementos de uma PA com [tex3]n[/tex3] termos?  A soma do primeiro com o último iria se repetir por n/2 vezes. Ou seja, podemos escrever:

[tex3]\Large{s_n=(a_1+a_n) \cdot \frac{n}{2}}[/tex3]

Dê uma olhada nos exercícios abaixo e veja como é fácil:


1) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos?

– Informações do problema:

[tex3]a_1=100[/tex3]

[tex3]a_{30}=187[/tex3]

[tex3]n=30[/tex3]

[tex3]S_{30}=?[/tex3]

– Aplicando a fórmula da soma, temos:

[tex3]S_{30}=(100+187)\cdot \frac{30}{2}[/tex3]

[tex3]S_{30} = (287) \cdot 15[/tex3]

[tex3]S_{30} = 4305[/tex3]


2) Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:

– Informações do problema:

[tex3]a_1=21[/tex3]

[tex3]r=7[/tex3]

[tex3]S_{12}=?[/tex3]

– Colocando na fórmula da soma, vemos que está faltando um dado. Qual o valor de [tex3]a_{12}[/tex3]? Então antes de tudo devemos calcular o valor de [tex3]a12[/tex3].

[tex3]a_{12}=a_1+(12-1)\cdot 7[/tex3]

[tex3]a_{12}=21+77[/tex3]

[tex3]a_{12}=98[/tex3]

– Agora sim, podemos colocar na fórmula da soma:

[tex3]S_{12}=(a_1+a_{12})\cdot 6[/tex3]

[tex3]S_{12}=(21+98)\cdot 6[/tex3]

[tex3]S_{12}=119\cdot 6[/tex3]

[tex3]S_{12}= 714[/tex3]


3) A soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos de uma PA é dada por [tex3]S_n=n^2+2n[/tex3]. O valor do 13o termo desta PA é:

(A) 195
(B) 190
(C) 27
(D) 26
(E) 25

– Este tipo de questão é clássica, pois tem um pega ratão horrível. Então, vamos esmigalhar ao máximo. Te liga só!

– Para calcularmos o 13o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo ([tex3]a_1[/tex3]) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.

– À primeira vista você pode achar que se substituírmos [tex3]n[/tex3] por [tex3]13[/tex3] teremos o valor do 13o termo. Aí está o pega ratão, substitua e veja a resposta da letra “A” (pega ratão).

– O que devemos fazer é substituir primeiro [tex3]n[/tex3] por [tex3]1[/tex3], isso dá

[tex3]S_1=1^2+2\cdot (1)[/tex3]

[tex3]S_1=3[/tex3]

– Como [tex3]S_1[/tex3] significa a soma de todos os termos até [tex3]a_1[/tex3], ou seja, como não tem nenhum antes de [tex3]a_1[/tex3] é o próprio valor dele ([tex3]a_1=3[/tex3])

– Se substituírmos [tex3]n[/tex3] por [tex3]2[/tex3], temos:

[tex3]S_2=2^2+2\cdot (2)[/tex3]

[tex3]S_2=8[/tex3]

– Agora tem que se ligar. [tex3]S_2[/tex3] significa a soma de todos os termos até [tex3]a_2[tex3], então é igual à [tex3]a_1+a_2[/tex3]. Como já sabemos o valor de [tex3]a1[/tex3], logo:

[tex3]S_2=a_1+a_2=8[/tex3]

[tex3]3+a_2=8[/tex3]

[tex3]a_2=5[/tex3]

Se [tex3]a_1=3[/tex3] e [tex3]a_2=5[/tex3] a razão só pode ser [tex3]2[/tex3]. Agora podemos achar o 13o termo, é só substituir na fórmula do termo geral:

[tex3]a_n=a_1+(n-1)\cdot r[/tex3]

[tex3]a_{13}=3+(13-1)\cdot 2[/tex3]

[tex3]a_{13}=3+24[/tex3]

[tex3]a_{13}=27[/tex3]

Resposta certa letra “C”


Existe uma curiosidade sobre uma soma especial: a soma dos quadrados dos [tex3]n[/tex3] primeiros números naturais.