05 – Resolução de Recíprocas

O estudo de equações recíprocas é interessante pelo método de resolução utilizado.

Uma equação do quarto grau, recíproca, possui uma estratégia muito peculiar de resolução que sempre nos levará à resposta sem muita complicação. Veja a seguir.

Vamos resolver a seguinte equação recíproca:

1) [tex3]\Large 72x^4-6x^3-181x^2-6x+72=0[/tex3]

Esta é uma equação polinomial recíproca de primeira espécie e do quarto grau. O início da resolução consiste em dividir os dois lados da equação por [tex3]x^2[/tex3] (já que x = 0 não é uma resposta):

[tex3]\frac{72x^4}{x^2}-\frac{6x^3}{x^2}-\frac{181x^2}{x^2}-\frac{6x}{x^2}+\frac{72}{x^2}=0[/tex3]
Efetuando as divisões:

[tex3]72x^2-6x-181-\frac{6}{x}+\frac{72}{x^2}=0[/tex3]
Vamos modificar a ordem das parcelas colocando os números iguais um ao lado do outro:

[tex3]72x^2+\frac{72}{x^2}-6x-\frac{6}{x}-181=0[/tex3]
Colocando alguns termos em evidência, teremos:

(1)               [tex3]72\cdot\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-6\cdot\left(x+\frac{1}{x}\right)-181=0[/tex3]

Esta será nossa equação (1). Agora que vem o lance especial de equações recíprocas. Vamos criar uma nova variável para nos auxiliar, vamos dizer que:

(2)                [tex3]x+\frac{1}{x}=t[/tex3]

Esta será nossa equação (2). Vamos elevar os dois lados ao quadrado e criar a equação (3):

[tex3]\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=t^2[/tex3]
[tex3]x^2+2\cdot\frac{1}{x}\cdot x++\frac{1}{x^2}=t^2[/tex3]

[tex3]x^2+2++\frac{1}{x^2}=t^2[/tex3]

Finalizando os cálculos:

(3)               [tex3]x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2[/tex3]
Substituindo (2) e (3) em (1), teremos:

[tex3]72\cdot(t^2-2)-6t-181=0[/tex3]

[tex3]72t^2-144-6t-181=0[/tex3]

[tex3]72t^2-6t-325=0[/tex3]

Aplicando Bhaskara nesta equação do segundo grau, teremos:

[tex3]t’=\frac{25}{12}[/tex3] e [tex3]t”=\frac{13}{6}[/tex3]
Agora, estes valores de “t” podemos substituir na equação (2):

SUBSTITUINDO O VALOR DE “t” NA EQUAÇÃO (2)
(2)                [tex3]x+\frac{1}{x}=t[/tex3]
[tex3]t’=\frac{25}{12}[/tex3]
[tex3]t”=\frac{13}{6}[/tex3]
[tex3]x+\frac{1}{x}=-\frac{25}{12}[/tex3]

Tirando o MMC, e efetuando alguns cálculos, teremos:

[tex3]12x^2+12=-25x[/tex3]

[tex3]12x^2+25x+12=0[/tex3]

Aplicando Bhaskara nesta equação, teremos:

[tex3]x’=-\frac{4}{3}[/tex3]    e    [tex3]x”=-\frac{3}{4}[/tex3]
[tex3]x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}[/tex3]

Tirando o MMC, e efetuando alguns cálculos, teremos:

[tex3]6x^2+6=13x[/tex3]

[tex3]6x^2-13x+6=0[/tex3]

Aplicando Bhaskara nesta equação, teremos:

[tex3]x”’=\frac{3}{2}[/tex3]    e    [tex3]x””=\frac{2}{3}[/tex3]

Estes valores de “x” são as raízes da equação

72x4 – 6x3 – 181x2 -6x +72 = 0

Com este procedimento, conseguimos calcular qualquer tipo de equação recíproca do quarto grau