06 – Exercícios de Equações Recíprocas

(1) (ITA – 1991) Considere as afirmações:

I – A equação 3x4 – 10x3 + 10x – 3 = 0 só admite raízes reais.
II – Toda equação recíproca admite um número par de raízes.
III – As raízes da equação x3 + 4x2 – 4x – 16 = 0 são exatamente o dobro das raízes de x3 + 2x2 – x – 2 = 0.

Então

(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é falsa.
(C) Apenas III é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) n.d.a.


(2) (ITA – 1993) – Sabendo-se que a equação de coeficientes reais, x6 – (a+b+c)x5 + 6x4 – 3cx2 + 6x – 1 = 0é uma equação recíproca de segunda classe, então o número de raízes reais desta equação é:

(A) 0
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 6


(3)(ITA – 1997) Seja S o conjunto de todas as raízes da equação 2x6 – 4x5 + 4x – 2 = 0. Sobre os elementos de S podemos afirmar que:

(A) Todos são números reais.
(B) 4 são números reais positivos.
(C) 4 são números reais.
(D) 3 são números reais positivos e 2 não são reais.
(E) 3 são números reais negativos.


(4) (ITA – 1998) Seja a um número real tal que o polinômio p(x) = x6 + 2x5 + ax4 – ax2 – 2x – 1 admite apenas raízes reais. Então:

(A) [tex3]a\in[2,\,\infty][/tex3]
(B) [tex3]a\in[-1,1][/tex3]
(C) [tex3]a\in]-\infty,-7][/tex3]
(D) [tex3]a\in[-2,-1[[/tex3]
(E) [tex3]a\in]1,2[[/tex3]


(5) (ITA – 1999) A equação polinomial p(x) = 0 de coeficientes reais e grau 6 é recíproca de 2a espécie e admite i como raiz. Se [tex3]p(2)=-\frac{105}{8}[/tex3] e [tex3]p(-2)=\frac{255}{8}[/tex3], então a soma de todas as raízes de p(x) é igual a:

(A) 10
(B) 8
(C) 6
(D) 2
(E) 1


(6) (ITA – 2003) Das afirmações abaixo sobre a equação z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 e suas soluções no plano complexo:

I – A equação possui pelo menos um par de raízes reais.
II – A equação possui duas raízes de módulo 1, uma raiz de módulo menor que 1 e uma raiz de módulo maior que 1.
III – Se [tex3]n\in+N*[/tex3] e “r” é uma raiz qualquer desta equação, então [tex3]\sum_1^n\left|\frac{r}{3}\right|^k\lt \frac{1}{2}[/tex3].

é (são) verdadeira(s):

(A) nenhuma
(B) apenas I.
(C) apenas II.
(D) apenas III.
(E) apenas I e III.


GABARITO
01 – B 02 – 03 – C 04 – C 05 – C 06 – D

RESOLUÇÃO

As resoluções mostradas aqui não serão explicadas minuciosamente. Mostraremos o caminho e deixaremos lacunas que devem ser preenchidas pelo aluno, aprimorando o seu estudo. Boa Sorte!


(1) (ITA – 1991) Considere as afirmações:

I – A equação 3x4 – 10x3 + 10x – 3 = 0 só admite raízes reais.
II – Toda equação recíproca admite um número par de raízes.
III – As raízes da equação x3 + 4x2 – 4x – 16 = 0 são exatamente o dobro das raízes de x3 + 2x2 – x – 2 = 0.

Então

(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é falsa.
(C) Apenas III é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) n.d.a.

I ) Por ser uma equação recíproca de segunda espécie com grau PAR, com certeza 1 e -1 serão raízes. Efetuando Briot-Ruffini para reduzir o grau, utilizando a raiz “1”, teremos:

rec_exe_res_01.gif (1269 bytes)

Aplicando Briot-Ruffini novamente, no quociente, agora com a raiz -1, teremos:

rec_exe_res_02.gif (1200 bytes)

Portanto, as raízes do polinômio em questão são 1, -1 e as duas da equação 3x2 – 10x + 3 = 0 , que são reais, pois [tex3]\Delta=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3=64\gt 0[/tex3]. VERDADEIRA

II) FALSA, pois 6x3 – 11x2 – 11x + 6 = 0, por exemplo, é recíproca e, por ter grau ímpar, possui um número ímpar de raízes.

III) VERDADEIRA, podemos provar isso vendo a soma e o produto das raízes.


(2) (ITA – 1993) – Sabendo-se que a equação de coeficientes reais, x6 – (a+b+c)x5 + 6x4 – 3cx2 + 6x – 1 = 0é uma equação recíproca de segunda classe, então o número de raízes reais desta equação é:

(A) 0
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 6


(3) (ITA – 1997) Seja S o conjunto de todas as raízes da equação
2x6 – 4x5 + 4x – 2 = 0. Sobre os elementos de S podemos afirmar que:

(A) Todos são números reais.
(B) 4 são números reais positivos.
(C) 4 são números reais.
(D) 3 são números reais positivos e 2 não são reais.
(E) 3 são números reais negativos.

Por ser uma equação recíproca de segunda espécie e de grau PAR, com certeza 1 e -1 serão raízes. Vamos aplicar o dispositivo prático de Briot-Ruffini para diminuir o grau duas vezes, primeiramente com a raiz “1”:

rec_exe_res_03.gif (1361 bytes)

Agora, pegamos o qüociente acima e aplicamos novamente com a raiz “-1”:

rec_exe_res_04.gif (1297 bytes)

Portanto, as raízes da equação da questão são 1, -1 e as quatro do qüociente acima, 2x4 – 4x3 + 2x2 – 4x + 2 = 0 que descobrimos neste último Briot-Ruffini. Resolveremos agora a equação recíproca de quarto grau:

2x4 – 4x3 + 2x2 – 4x + 2 = 0

Dividindo toda equação por x2:

2x2 – 4x + 2 – 4/x + 2/x2 = 0

Arrumando as parcelas:

2x2 + 2/x2 – 4x – 4/x + 2 = 0

Colocando em evidência o que der:

2(x2 + 1/x2) – 4(x + 1/x) + 2 = 0

Substituindo (1)     x + 1/x = t, e conseqüentemente x2 + 1/x2 por t2 – 2, teremos:

2(t2 – 2) – 4(t) + 2 = 0
2t2 – 4 – 4t + 2 = 0
2t2 – 4t – 2 = 0

Aplicando Bhaskara, teremos:

[tex3]t’=1+\sqrt 2[/tex3]

[tex3]t”=1-\sqrt 2[/tex3]

Desenvolvendo (1):

(1)    [tex3]x+\frac{1}{x}=t[/tex3]

[tex3]x^2-tx+1=0[/tex3]

Esta equação só terá raízes reais se [tex3]\Delta\geq+0[/tex3]. Calculando [tex3]\Delta[/tex3], teremos:

[tex3]\Delta=t^2-4\geq+0[/tex3]
(2)         [tex3]t\leq+-2[/tex3]     ou   [tex3]t\geq+2[/tex3]       (3)

Os valores encontrados por nós, são:

[tex3]t’=1+\sqrt{2}\approx+2,4[/tex3]

[tex3]t’=1-\sqrt{2}\approx+0,6[/tex3]

Ou seja, t’ (por ser maior que 2, satisfazendo (3)) irá nos retornar duas raízes reais, e t” (por não satisfazer nem (2) nem (3)) duas raízes não reais. Como já sabemos duas raízes reais (1 e -1), a resposta C fecha direitinho com a situação.


(4) (ITA – 1998) Seja a um número real tal que o polinômio
p(x) = x6 + 2x5 + ax4 – ax2 – 2x – 1 admite apenas raízes reais. Então:

(A) [tex3]a\in[2,\infty[[/tex3]
(B) [tex3]a\in[-1,1][/tex3]
(C) [tex3]a\in]-\infty,-7][/tex3]
(D) [tex3]a\in[-2,-1[[/tex3]
(E) [tex3]a\in]1,2[[/tex3]

Por ser uma equação recíproca de segunda espécie e de grau PAR, com certeza 1 e -1 serão raízes. Vamos aplicar o dispositivo prático de Briot-Ruffini e abaixar o grau duas vezes. Primeiramente com a raiz “1”:

rec_exe_res_05.gif (1389 bytes)

Novamente, agora com a raiz “-1”:

rec_exe_res_06.gif (1335 bytes)

Agora, as próximas raízes dependem do valor de “a”. Serão as raízes da equação x4 + 2x3 + (1+a)x2 + 2x + 1 = 0. É uma equação recíproca do quarto grau, vamos resolvê-la utilizando o método usual. Dividindo por x2:

[tex3]x^2+2x+(1+a)+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0[/tex3]

Arrumando as parcelas:

[tex3]x^2+\frac{1}{x^2}+2x+\frac{2}{x}+(1+a)=0[/tex3]

Colocando em evidência:

[tex3]x^2+\frac{1}{x^2}+2\cdot\left(x+\frac{1}{x}\right)+(1+a)=0[/tex3]

Substituindo (1)     [tex3]x+\frac{1}{x}=t[/tex3], e conseqüentemente [tex3]x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2[/tex3], teremos:

[tex3]t^2-2+2t+(1+a)=0[/tex3]

[tex3]t^2+2t-1+a=0[/tex3]       (2)

Aplicando Bhaskara em (2), teremos:

(3) [tex3]t’=-1+\sqrt{2-a}[/tex3]
(4) [tex3]t”=-1-\sqrt{2-a}[/tex3]

É óbvio que “t” deve ser um valor real, para que em (1) achemos valores de x reais. Portanto, [tex3](2-a)\geq+0[/tex3] ou  [tex3]a\leq+2[/tex3]    (5). Mas, de (1), tiramos que (6)         [tex3]t\leq+-2[/tex3]     ou   [tex3]t\geq+2[/tex3]       (7)

Para achar o intervalo verdadeiro para a resposta, devemos utilizar (3) com (6), (3) com (7), (4) com (6) e (4) com (7). Vamos ver (3)com (7):

[tex3]-1+\sqrt{2-a}\geq+2[/tex3]

[tex3]\sqrt{2-a}\geq+2+1[/tex3]

[tex3]\sqrt{2-a}\geq+3[/tex3]

Como temos os dois lados da equação, com certeza, positivos, podemos elevar os dois lados da inequação ao quadrado:

[tex3]\left(\sqrt{2-a}\right)^2\geq(3)^2[/tex3]

[tex3]2-a\geq+9[/tex3]

[tex3]-a\geq+9-2[/tex3]

[tex3]a\leq+-7[/tex3]

Eliminando todas alternativas, exceto a “C”. Deixo o restante da resolução para você fazer 🙂


(5) (ITA – 1999) A equação polinomial p(x) = 0 de coeficientes reais e grau 6 é recíproca de 2a espécie e admite i como raiz. Se [tex3]p(2)=-\frac{105}{8}[/tex3] e [tex3]p(-2)=\frac{255}{8}[/tex3], então a soma de todas as raízes de p(x) é igual a:

(A) 10
(B) 8
(C) 6
(D) 2
(E) 1

Sendo uma equação recíproca de segunda espécie com grau par (6o grau) com certeza terá as raízes 1 e -1.

O exercício nos diz que “i” é uma raiz, portanto, seu conjugado “-i” também será raiz da equação.

Por ser um polinômio recíproco, as duas raízes que falta descobrir são recíprocas, ou seja, uma será [tex3]r[/tex3] e outra será [tex3]\frac{1}{r}[/tex3]. Fatorando o polinômio com as informações que temos, teremos:

[tex3]P(x)=a\cdot(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-i)\cdot(x+i)\cdot(x-r)\cdot\left(x-\frac{1}{r}\right)[/tex3]
Efetuando alguns cálculos, teremos:

[tex3]P(x)=a\cdot(x^2-1)\cdot(x^2+1)\cdot[x^2-\left(r+\frac{1}{r}\right)\cdot x++1][/tex3]
Mais um pouquinho:

[tex3]P(x)=a\cdot(x^4-1)\cdot[x^2-\left(r+\frac{1}{r}\right)\cdot x++1][/tex3]
Substituindo as informações dadas, [tex3]p(2)=-\frac{105}{8}[/tex3] e [tex3]p(-2)=\frac{255}{8}[/tex3], teremos:

[tex3]-\frac{105}{8}=a\cdot(2^4-1)\cdot[2^2-\left(r+\frac{1}{r}\right)\cdot 2+1[/tex3]
e

[tex3]\frac{255}{8}=a\cdot[(-2)^4-1] \cdot[(-2)^2-\left(r+\frac{1}{r}\right)\cdot (-2)+1][/tex3]
Com estas duas equações (com incógnitas “a” e “x”), temos um sistema. Resolvendo encontraremos o valor de [tex3]r[/tex3] e, consequentemente, o valor pedido (que é [tex3]r+\frac{1}{r}[/tex3]).

(6) (ITA – 2003) Das afirmações abaixo sobre a equação z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 e suas soluções no plano complexo:

I – A equação possui pelo menos um par de raízes reais.
II – A equação possui duas raízes de módulo 1, uma raiz de módulo menor que 1 e uma raiz de módulo maior que 1.
III – Se [tex3]n\in+N*[/tex3] e “r” é uma raiz qualquer desta equação, então [tex3]\sum_1^n\left|\frac{r}{3}\right|^k\lt \frac{1}{2}[/tex3].

é (são) verdadeira(s):

(A) nenhuma
(B) apenas I.
(C) apenas II.
(D) apenas III.
(E) apenas I e III.