01 – Equações Recíprocas

Equação Polinomial Recíproca, ou simplesmente “Equação recíproca”, é aquela que, se possui “a” como raiz, então seu recíproco [tex3]\(\frac{1}{a}\)[/tex3] também será raiz da equação.

Por exemplo, a equação polinomial que tem as raízes [tex3]\left\{2,\hspace{3pt}\frac{1}{2},\hspace{3pt}\frac{2}{3},\hspace{3pt}\frac{3}{2}\right\}[/tex3] é uma equação recíproca do quarto grau. Pois o recíproco de [tex3]2[/tex3] é [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] e o recíproco de [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] é [tex3]\frac{3}{2}[/tex3].

Devo salientar os casos em que temos as raízes [tex3]a=1[/tex3] ou [tex3]a=-1[/tex3]. É fácil constatar que o recíproco de [tex3]1[/tex3] é o próprio [tex3]1[/tex3] e de [tex3]-1[/tex3] é o próprio [tex3]-1[/tex3]. Portanto, para uma equação, que tenha [tex3]1[/tex3] ou [tex3]-1[/tex3] como raiz, ser recíproca não precisa ter, necessariamente, estas raízes duplas. Por exemplo, a equação que tem raízes [tex3]\left\{1,\hspace{3pt}\frac{3}{4},\hspace{3pt}\frac{4}{3}\right\}[/tex3] é uma equação recíproca do terceiro grau, pois estão presentes todas raízes juntamente com suas recíprocas (no caso do [tex3]1[/tex3] é ele mesmo). É o caso também da equação do quinto grau que tem as raízes [tex3]\left\{-1,\hspace{3pt}3,\hspace{3pt}\frac{1}{3},\hspace{3pt}-\frac{5}{7},\hspace{3pt}-\frac{7}{5}\right\}[/tex3].

OBSERVAÇÃO (1):

Como [tex3]1[/tex3] e [tex3]-1[/tex3] são as únicas raízes de uma equação recíproca que não precisam vir acompanhadas de outra (“em pares”), podemos concluir que, se temos uma equação recíproca de grau ímpar, com certeza [tex3]1[/tex3] ou [tex3]-1[/tex3] será raiz desta equação.

Uma propriedade importantíssima de equações recíprocas, é a disposição dos seus coeficientes quando ordenados segundo as potências decrescentes da variável. Por exemplo, vamos montar a equação que possui as raízes [tex3]\left\{2,\hspace{4pt}\frac{1}{2},\hspace{4pt}\frac{2}{3},\hspace{4pt}\frac{3}{2}\right\}[/tex3]:

[tex3](x-2)\cdot\left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(x-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)=0[/tex3]
Efetuando os cálculos teremos:

[tex3]x^4-\frac{14}{3}\cdot x^3+\frac{89}{12}\cdot x^2-\frac{14}{3}\cdot x+1=0[/tex3]

(1)         [tex3]\Large{{\color{green}12} x^4{\color{red} -56} x^3{\color{blue} +89} x^2{\color{red} -56} x{\color{green} +12}=0}[/tex3]

Esta será a equação (1). Note que há uma simetria nos coeficientes desta equação que estão eqüidistantes do centro (marcados com mesma cor na equação acima). Esta simetria irá ocorrer sempre em equações recíprocas,  salvo a situação descrita abaixo.

Vamos analisar mais uma equação, agora com as raízes [tex3]\left\{1,\hspace{4pt}\frac{2}{3},\hspace{4pt}\frac{3}{2}\right\}[/tex3]:

[tex3](x-1)\cdot\left(x-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)=0[/tex3]

Efetuando os cálculos, teremos:

(2)          [tex3]\Large{{\color{green} 6}x^3{\color{blue}-19} x^2{\color{blue} +19} x{\color{green} -6} =0}[/tex3]

Esta será a equação (2). Note que, novamente, há uma simetria nos coeficientes (marcados com mesma cor na equação acima), mas agora esta simetria é oposta (sinal trocado). Este fato se dá devido a presença da raiz [tex3]1[/tex3]. Equações recíprocas que possuem [tex3]1[/tex3] como raiz terão coeficientes iguais mas com sinais trocados, nos termos eqüidistantes. Só devo salientar que a raiz [tex3]1[/tex3] deve aparecer com multiplicidade ímpar, por exemplo, se tiver duas raízes iguais a [tex3]1[/tex3], a equaçào não possuirá a simetria mostrada em (2). Este tipo de equação (simetria oposta) damos o nome de Equação Polinomial Recíproca de 2a Espécie, e à equação (1) damos o nome de Equação Polinomial Recíproca de 1a Espécie.

Estes dois tipos de simetria irão ocorrer sempre, em equações polinomiais recíprocas. Sendo assim, podemos definir Equações Polinomiais Recíprocas de uma maneira mais usual para nós:

DEFINIÇÃO
Chamamos uma equação de RECÍPROCA se e somente se os coeficientes das parcelas eqüidistantes dos extremos, forem iguais ou opostos (sinais trocados), quando ordenados segundo as potências decrescentes da variável.

Quando os coeficientes forem iguais, teremos uma equação polinomial recíproca de 1ª espécie e, quando opostos, teremos uma equação polinomial  recíproca de 2ª espécie.

Veja exemplos:

EQUAÇÕES POLINOMIAIS RECÍPROCAS
1ª espécie 2ª espécie

12x4 – 56x3 + 89x2 – 56x + 12 = 0

5x4 – 13x3 + 13x – 5 = 0

31x3 – 7x2 – 7x + 31 = 0

– 2x5 – 5x4 – 11x3 + 11x2 + 5x + 2 = 0

Note que os coeficientes equidistantes (mesma cor) são iguais. Note que os coeficientes equidistantes (mesma cor) são opostos (iguais em módulo mas com sinais trocados).

Clique na seta AVANÇAR, logo abaixo, para ver um estudo sobre equações recíprocas de primeira espécie.