06 – Propriedades Operatórias

Historicamente, o logaritmo foi inventado para facilitar os cálculos na matemática antiga, onde não existia calculadora.

Ele traz a facilidade de transformar uma multiplicação em uma soma.

Imagina você, sem calculadora, tendo que fazer a multiplicação de dois números grandes! Não seria mais fácil somá-los? Ou ter a posse de dois números que, somados, dão o mesmo resultado que o produto desejado?

Pois é, estas propriedades mostradas aqui servem pra isso.

Essa facilidade (de transformar produto em soma) é chamada de PROSTAFÉRESE.

Propriedades operatórias dos logaritmos:

1°Propriedade: [tex3]\Large\boxed{\log_b(A\cdot B)=\log_bA+\log_bB}[/tex3]

Aqui temos a Prostaférese. Veja que do lado esquerdo da igualdade temos log de uma multiplicação, e na direita uma soma de logs.

Para provar essa propriedade não é tão difícil. Tente acompanhar o raciocínio. Faz de conta que temos um número x que é a soma de dois logaritmos que estão na mesma base b: [tex3]x=\log_bA+\log_bB[/tex3]

Se temos esta igualdade, podemos colocar a mesma base b dos dois lados como potenciação: [tex3]b^x=b^{\log_bA+\log_bB}[/tex3]

Agora a gente pode aplicar a propriedade de potenciação: [tex3]b^x=b^{(\log_bA)}\cdot b^{\log_bB}[/tex3]

E agora aplicar a 4° conseqüência, estudada no capítulo anterior: [tex3]b^x=\cancel{b}^{(\log_{\cancel{b}}A)}\cdot\cancel{b}^{\log_{\cancel{b}}B}[/tex3]

E ficamos com: [tex3]b^x=A\cdot B[/tex3]

Agora aplicamos a equivalência fundamental: [tex3]x=\log_b(A\cdot B)[/tex3] e chegamos no valor que queríamos demonstrar.


2° Propriedade: [tex3]\Large\boxed{\log_b\(\frac{A}{B}\)=\log_bA-\log_bB}[/tex3]

Esta é quase a mesma coisa que a anterior, mas em vez de multiplicação temos a divisão e no lugar da soma vira subtração. A demonstração é extremamente parecida com a 1° propriedade. Tente demonstrar você, siga os passos da anterior.


3° Propriedade: [tex3]\Large\boxed{\log_b\(A^n\)=n\cdot\log_bA}[/tex3]

Esta propriedade é uma “extensão” da primeira. Veja o exemplo abaixo com o expoente 2:

[tex3]x=\log_b(A^2)[/tex3] sabemos que [tex3]A^2=A\cdot A[/tex3]

[tex3]x=\log_b(A\cdot A)[/tex3] agora aplicamos a primeira propriedade

[tex3]x=\log_bA+\log_bA[/tex3]

[tex3]x=2\log_bA[/tex3]

Poderíamos ter saído da primeira linha diretamente para a última, essa é a facilidade de saber esta propriedade.

Uma maneira de visualizar esta propriedade, e tentar decorá-la mais facilmente, é imaginando a figura abaixo:


Veja algumas aplicações:

(UFRGS) A raiz da equação [tex3]2^x=12[/tex3] é

(A) [tex3]6[/tex3]
(B) [tex3]3,5[/tex3]
(C) [tex3]\log 12[/tex3]
(D) [tex3]2\log_23[/tex3]
(E) [tex3]2+\log_23[/tex3]

Começamos aplicando a volta da equivalência fundamental:

[tex3]x=\log_212[/tex3]

Agora vemos que esta resposta não está nas alternativas. Portanto, devemos fatorar o 12:

[tex3]x=\log_2(4\cdot+3)[/tex3]

Aplicamos a 1° Propriedade Operatória

[tex3]x=\log_24+\log_23[/tex3]

Mas o [tex3]\log_24[/tex3] sabemos que vale 2. Portanto:

[tex3]x=2+\log_23[/tex3]

Resposta correta, letra “E”.


(UCS) Se [tex3]\log 2=a[/tex3] e [tex3]\log 3=b[/tex3], então [tex3]\log 12[/tex3] vale

(A) [tex3]a+b[/tex3]
(B) [tex3]2a+b[/tex3]
(C) [tex3]a+2b[/tex3]
(D) [tex3]a\cdot+b[/tex3]
(E) [tex3]\frac{a}{b}[/tex3]

Este tipo de questão é clássico nos vestibulares do Brasil. Peguei este exemplo pois não possui muita dificuldade.

Começamos fatorando sempre o logaritmo pedido, neste caso o 12.

[tex3]\log 12[/tex3]

[tex3]\log(2^2\cdot 3)[/tex3]

Agora devemos aplicar as propriedades operatórias:

[tex3]\log 2^2+\log 3[/tex3]

[tex3]2\log 2+\log 3[/tex3]

E substituímos os valores dados no enunciado:

2a+b

Resposta correta, letra “B”.