Em algumas questões, pode ser apresentado um logaritmo que possui uma base não muito boa para a resolução da questão. Assim, devemos utilizar a técnica de mudança de base de logaritmo.
Ou seja, é necessário trocar a base do logaritmo!
Neste capítulo iremos aprender o que fazer para colocarmos qualquer base que quisermos no logaritmo da questão.
A regra é a seguinte:
| Mudança de Base |
| [tex3]\Large\log_ba=\frac{\log_ca}{\log_cb}[/tex3] |
Ou seja, se tivermos um logaritmo na base b, podemos transformar em uma fração de logaritmos em uma outra base qualquer c.
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a base nova “c”, pode ser qualquer número que satisfaça a condição de existência da base, ou seja,c > 0 e c ≠ 1. |
Por exemplo, seja o logaritmo de 45 na base 3: [tex3]\log_345[/tex3]. Mudando para a base 7, teremos: [tex3]\frac{\log_745}{\log_73}[/tex3]. Poderíamos ter colocado qualquer outra base c no lugar do 7.
Podemos provar essa propriedade partindo da fração. Vamos igualar a fração a x e encontrar o valor de x.
[tex3]\frac{\log_ca}{\log_cb}=x[/tex3]
[tex3]\log_ca=x\cdot\log_cb[/tex3]
Vamos aplicar uma base c de potência nos dois lados da igualdade:
[tex3]c^{\log_ca}=c^{(x\cdot\log_cb)}[/tex3]
Agora podemos aplicar a 4° conseqüência da definição no lado esquerdo e rescrever a potência do lado direito:
[tex3]a=\left[c^{(\log_cb)}\right]^x[/tex3]
E aplicar novamente a 4° conseqüência, agora no lado direito:
[tex3]a=[b]^x[/tex3]
Com a equivalência fundamental:
[tex3]\log_ba=x[/tex3]
Que é exatamente o valor que queríamos chegar.
(UFRGS) Sabendo que [tex3]\log+a=L[/tex3] e [tex3]\log+b=M[/tex3], então o logaritmo de a na base b é
(A) [tex3]L+M[/tex3]
(B) [tex3]L-M[/tex3]
(C) [tex3]L\cdot+M[/tex3]
(D) [tex3]\frac{M}{L}[/tex3]
(E) [tex3]\frac{L}{M}[/tex3]
| É dado o valor do logaritmo de a na base 10 e é pedido o logaritmo de a na base b.
Para adequar o pedido ao informado, vamos transformar o [tex3]\log_ba[/tex3] para a base 10. [tex3]\log_ba=\frac{\log+a}{\log+b}+[/tex3] Este valor encontrado possui termos que foram dados no enunciado, portanto, podemos substituir: [tex3]\log_ba=\frac{L}{M}+[/tex3] |
Esta propriedade de mudança de base gera algumas conseqüências legais de sabermos para resolver equações envolvendo logaritmos.
No próximo capítulo você irá aprender estas conseqüências.