08 – Mudança de Base

Em algumas questões, pode ser apresentado um logaritmo que possui uma base não muito boa para a resolução da questão. Assim, devemos utilizar a técnica de mudança de base de logaritmo.

Ou seja, é necessário trocar a base do logaritmo!

Neste capítulo iremos aprender o que fazer para colocarmos qualquer base que quisermos no logaritmo da questão.

A regra é a seguinte:

Mudança de Base
[tex3]\Large\log_ba=\frac{\log_ca}{\log_cb}[/tex3]

Ou seja, se tivermos um logaritmo na base b, podemos transformar em uma fração de logaritmos em uma outra base qualquer c.

a base nova “c”, pode ser qualquer número que
satisfaça a condição de existência da base, ou seja,c > 0 e c ≠ 1.

Por exemplo, seja o logaritmo de 45 na base 3: [tex3]\log_345[/tex3]. Mudando para a base 7, teremos: [tex3]\frac{\log_745}{\log_73}[/tex3]. Poderíamos ter colocado qualquer outra base c no lugar do 7.


Podemos provar essa propriedade partindo da fração. Vamos igualar a fração a x e encontrar o valor de x.

[tex3]\frac{\log_ca}{\log_cb}=x[/tex3]

[tex3]\log_ca=x\cdot\log_cb[/tex3]

Vamos aplicar uma base c de potência nos dois lados da igualdade:

[tex3]c^{\log_ca}=c^{(x\cdot\log_cb)}[/tex3]

Agora podemos aplicar a 4° conseqüência da definição no lado esquerdo e rescrever a potência do lado direito:

[tex3]a=\left[c^{(\log_cb)}\right]^x[/tex3]

E aplicar novamente a 4° conseqüência, agora no lado direito:

[tex3]a=[b]^x[/tex3]

Com a equivalência fundamental:

[tex3]\log_ba=x[/tex3]

Que é exatamente o valor que queríamos chegar.


(UFRGS) Sabendo que [tex3]\log+a=L[/tex3] e [tex3]\log+b=M[/tex3], então o logaritmo de a na base b é

(A) [tex3]L+M[/tex3]
(B) [tex3]L-M[/tex3]
(C) [tex3]L\cdot+M[/tex3]

(D) [tex3]\frac{M}{L}[/tex3]

(E) [tex3]\frac{L}{M}[/tex3]

É dado o valor do logaritmo de a na base 10 e é pedido o logaritmo de a na base b.

Para adequar o pedido ao informado, vamos transformar o [tex3]\log_ba[/tex3] para a base 10.

[tex3]\log_ba=\frac{\log+a}{\log+b}+[/tex3]

Este valor encontrado possui termos que foram dados no enunciado, portanto, podemos substituir:

[tex3]\log_ba=\frac{L}{M}+[/tex3]


Esta propriedade de mudança de base gera algumas conseqüências legais de sabermos para resolver equações envolvendo logaritmos.

No próximo capítulo você irá aprender estas conseqüências.