12 – Inequações Logaritmicas

Se, ao invés de termos uma igualdade envolvendo as variáveis em logaritmos (equação logarítmica), tivermos um sinal de desigualdade (<, >, [tex3]\ge[/tex3],[tex3]\le[/tex3]), teremos o que chamamos de inequações logarítmicas. Nesse tipo de inequação, devemos nos atentar a algumas propriedades.

Podemos efetuar as mesmas as operações que efetuamos nas equações!

Devemos nos atentar a um ponto muito importante:

Em uma inequação, ao multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo, devemos inverter a desigualdade!

Por exemplo: seja a inequação:

[tex3]\boxed{1 – x < 0}[/tex3]

Podemos passar o 1 do lado esquerdo para o lado direito da inequação:

[tex3]-x < -1[/tex3]

Agora, já que o objetivo é isolar o x, e não o -x, devemos multiplicar a inequação por (-1).

Com isso, devemos inverter a desigualdade:

[tex3]\boxed{\boxed{x > 1}}[/tex3]

E com isso, chegamos ao intervalo que é a resposta do exemplo.

Essa regra é válida para todas as inequações!

Para inequações envolvendo logaritmos (inequações logarítmicas) seguimos alguns passos:

1° Passo

Aplicamos as condições de existência em todos os logaritmos que possuírem a incógnita em alguma de suas partes.

Guardamos a interesecção destes intervalos encontrados.

2° Passo

Aplicamos as propriedades dos logaritmos a fim de tentar deixar apenas um logaritmo de cada lado da desigualdade. Ambos com a mesma base.

3° Passo

“Cortamos” os logs dos dois lados, atentando-se para o fato de que se:

[tex3]\begin{vmatrix}\hline\text{base} > 1 & \text{Mantém-se a desigualdade}\\\hline
0 < \text{base} < 1 & \text{Inverte-se a desigualdade}\\\hline\end{vmatrix}[/tex3]

E guardamos também o intervalo encontrado.

4° Passo

Computar a intersecção dos intervalos encontrados nos passos 1 e 3.

Veja o exemplo abaixo:


(CAJU) Qual o intervalo solução da inequação: [tex3]\log(x+1)+\log(x-3)\le\log(x)-\log(2)[/tex3]

1° Passo – Pegamos um por dos logaritmandos que possuam “x”, e aplicamos as condições de existência:

Fazendo a interseção destes três intervalos, temos que [tex3]\boxed{x>3}[/tex3]

2° PassoVamos deixar apenas um [tex3]\log[/tex3] de cada lado da igualdade:

[tex3]\log[(x+1)\cdot(x-3)]\le\log\(\frac{x}{2}\)[/tex3]

3° Passo – Temos que a base é 10. Ou seja, maior do que 1. Assim, podemos cortar os [tex3]\log[/tex3] e manter a desigualdade do mesmo jeito:

[tex3](x+1)\cdot(x-3)\le\frac{x}{2}[/tex3]

[tex3]x^2-2x-3\le\frac{x}{2}[/tex3]

[tex3]x^2-\frac{5x}{2}-3\le 0[/tex3]

Esta é uma parábola com concavidade para cima e raízes [tex3]x=\frac{5-\sqrt{73}}{4}\approx -0,88[/tex3] e [tex3]x=\frac{5+\sqrt{73}}{4}\approx 3,38[/tex3].

Ou seja, esta última inequação nos dá o intervalo:

[tex3]\frac{5-\sqrt{73}}{4}\le x \le \frac{5+\sqrt{73}}{4}[/tex3]

4° Passo – Agora, por último, fazemos a interseção deste intervalo com o intervalo encontrado no primeiro passo e obtemos a resposta:

[tex3]\boxed{\boxed{3 < x \le \frac{5+\sqrt{73}}{4}}}[/tex3]


No próximo capítulo você encontra alguns exercícios para treinar o que aprendeu aqui.