Se, ao invés de termos uma igualdade envolvendo as variáveis em logaritmos (equação logarítmica), tivermos um sinal de desigualdade (<, >, [tex3]\ge[/tex3],[tex3]\le[/tex3]), teremos o que chamamos de inequações logarítmicas. Nesse tipo de inequação, devemos nos atentar a algumas propriedades.
Podemos efetuar as mesmas as operações que efetuamos nas equações!
Devemos nos atentar a um ponto muito importante:
| Em uma inequação, ao multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo, devemos inverter a desigualdade! |
Por exemplo: seja a inequação:
[tex3]\boxed{1 – x < 0}[/tex3]
Podemos passar o 1 do lado esquerdo para o lado direito da inequação:
[tex3]-x < -1[/tex3]
Agora, já que o objetivo é isolar o x, e não o -x, devemos multiplicar a inequação por (-1).
Com isso, devemos inverter a desigualdade:
[tex3]\boxed{\boxed{x > 1}}[/tex3]
E com isso, chegamos ao intervalo que é a resposta do exemplo.
Essa regra é válida para todas as inequações!
Para inequações envolvendo logaritmos (inequações logarítmicas) seguimos alguns passos:
1° Passo
Aplicamos as condições de existência em todos os logaritmos que possuírem a incógnita em alguma de suas partes.
Guardamos a interesecção destes intervalos encontrados.
2° Passo
Aplicamos as propriedades dos logaritmos a fim de tentar deixar apenas um logaritmo de cada lado da desigualdade. Ambos com a mesma base.
3° Passo
“Cortamos” os logs dos dois lados, atentando-se para o fato de que se:
[tex3]\begin{vmatrix}\hline\text{base} > 1 & \text{Mantém-se a desigualdade}\\\hline
0 < \text{base} < 1 & \text{Inverte-se a desigualdade}\\\hline\end{vmatrix}[/tex3]
E guardamos também o intervalo encontrado.
4° Passo
Computar a intersecção dos intervalos encontrados nos passos 1 e 3.
Veja o exemplo abaixo:
(CAJU) Qual o intervalo solução da inequação: [tex3]\log(x+1)+\log(x-3)\le\log(x)-\log(2)[/tex3]
| 1° Passo – Pegamos um por dos logaritmandos que possuam “x”, e aplicamos as condições de existência:
Fazendo a interseção destes três intervalos, temos que [tex3]\boxed{x>3}[/tex3] 2° Passo – Vamos deixar apenas um [tex3]\log[/tex3] de cada lado da igualdade: [tex3]\log[(x+1)\cdot(x-3)]\le\log\(\frac{x}{2}\)[/tex3] 3° Passo – Temos que a base é 10. Ou seja, maior do que 1. Assim, podemos cortar os [tex3]\log[/tex3] e manter a desigualdade do mesmo jeito: [tex3](x+1)\cdot(x-3)\le\frac{x}{2}[/tex3] [tex3]x^2-2x-3\le\frac{x}{2}[/tex3] [tex3]x^2-\frac{5x}{2}-3\le 0[/tex3] Esta é uma parábola com concavidade para cima e raízes [tex3]x=\frac{5-\sqrt{73}}{4}\approx -0,88[/tex3] e [tex3]x=\frac{5+\sqrt{73}}{4}\approx 3,38[/tex3]. Ou seja, esta última inequação nos dá o intervalo: [tex3]\frac{5-\sqrt{73}}{4}\le x \le \frac{5+\sqrt{73}}{4}[/tex3] 4° Passo – Agora, por último, fazemos a interseção deste intervalo com o intervalo encontrado no primeiro passo e obtemos a resposta: [tex3]\boxed{\boxed{3 < x \le \frac{5+\sqrt{73}}{4}}}[/tex3] |
No próximo capítulo você encontra alguns exercícios para treinar o que aprendeu aqui.