04 – Exercícios Resolvidos de Logaritmos

Resolva os exercícios abaixo e, depois, veja os exercícios resolvidos de logaritmos no final da página 🙂

Apenas como dica, lembre-se da definição de logaritmo:

Nomenclatura Logaritmos (exercícios resolvidos de logaritmos)


1) Calcule o valor dos seguintes logaritmos:

a) [tex3]\log_{16}64[/tex3]
b) [tex3]\log_{625}\sqrt{5}[/tex3]
c) [tex3]\log_{5}(0,000064)[/tex3]
d) [tex3]\log_{49}\sqrt[3]{7}[/tex3]
e) [tex3]\log_{(\sqrt[5]{2})}128[/tex3]
f) [tex3]\log_{9}(3\sqrt{3})[/tex3]
g) [tex3]\log_{2}\sqrt[8]{64}[/tex3]
h) [tex3]\log_{2}0,25[/tex3]


2) Calcule o valor da incógnita “N” em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

a) [tex3]\log_{5}N=3[/tex3]
b) [tex3]\log_{2}N=8[/tex3]
c) [tex3]\log_{2}N=-9[/tex3]
d) [tex3]\log_{\sqrt{3}}N=2[/tex3]


3) Calcule o valor da incógnita “a” em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

a) [tex3]\log_{a}81=4[/tex3]
b) [tex3]\log_{a}1024=20[/tex3]
c) [tex3]\log_{a}10=2[/tex3]
d) [tex3]\log_{9a}\sqrt{27}=\frac{1}{2}[/tex3]


4) O número real [tex3]x[/tex3], tal que [tex3]\log_{x}\(\frac{9}{4}\)[/tex3], é:

a) [tex3]\frac{81}{16}[/tex3]
b) [tex3]-\frac{3}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]
e) [tex3]-\frac{81}{16}[/tex3]


5) (PUCRS) Escrever [tex3]b^{\log_ba}=b^{-2}[/tex3], equivale a escrever

a) [tex3]a=\frac{1}{b^2}[/tex3]
b) [tex3]b=a^2[/tex3]
c) [tex3]a=b^2[/tex3]
d) [tex3]b^2=-a[/tex3]
e) [tex3]b=\frac{1}{a^2}[/tex3]


6) Se [tex3]f(x)=\log_{10}\(\frac{x^2}{x+11}\)[/tex3], o valor de [tex3]f(-1)[/tex3] é:

a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2


7) (PUCRS) A solução real para a equação [tex3]a^{(x+1)}=\frac{b}{a}[/tex3], com [tex3]a>0[/tex3], [tex3]a\ne 1[/tex3] e [tex3]b>0[/tex3], é dada por

a) [tex3]\log_ba[/tex3]
b) [tex3]\log_a(b+1)[/tex3]
c) [tex3]\log_a(b)+1[/tex3]
d) [tex3]\log_a(b)+2[/tex3]
e) [tex3]\log_a(b)-2[/tex3]


GABARITO
04 – A 05 – A 06 – B 07 – E

Exercícios Resolvidos de Logaritmos

Exercício 1) Calcule o valor dos seguintes logaritmos:

a) [tex3]\log_{16}64[/tex3] Igualando a “x”
[tex3]\log_{16}64=x[/tex3] aplicando a equivalência fundamental
[tex3]64=16^x[/tex3] Igualando as bases (utilizando base 2)
[tex3]2^6=(2^4)^x[/tex3] Aplicando as propriedades de potências
[tex3]2^6=2^{4x}[/tex3] Corta-se as bases
[tex3]6=4x[/tex3] Isolando x
[tex3]x=\frac{6}{4}[/tex3] Simplificando
[tex3]x=\frac{3}{2}[/tex3] Esta é a resposta!!

c) [tex3]\log_{5}(0,000064)[/tex3] Igualamos a “x”
[tex3]\log_{5}(0,000064)=x[/tex3] Aplicamos a equivalência fundamental
[tex3]0,000064=5^x[/tex3] Pra facilitar o cálculo, vamos transformar a fração
[tex3]\frac{64}{1000000}=5^x[/tex3] Agora, transformar em potência
[tex3]\frac{2^6}{10^6}=5^x[/tex3] Aplicamos a propriedade de divisão de potências de bases diferentes
[tex3]\(\frac{2}{10}\)^6=5[/tex3] Simplificamos a função
[tex3]\(\frac{1}{5}\)^6=5^x[/tex3] Novamente, propriedades de potenciação
[tex3]5^{-6}=5^x[/tex3] Corta-se as bases,
[tex3]x=-6[/tex3] Esta é a resposta final.

d) [tex3]\log_{49}\sqrt[3]{7}[/tex3] Igualando a “x”
[tex3]\log_{49}\sqrt[3]{7}=x[/tex3] aplicando a equivalência fundamental
[tex3]\sqrt[3]{7}=49^x[/tex3] Vamos aplicar algumas propriedades de potências e Igualar as bases (utilizando base 7)
[tex3]7^{\frac{1}{3}}=\(7^2\)^x[/tex3] Aplicando as propriedades de potências
[tex3]7^{\frac{1}{3}}=7^{2x}[/tex3] Corta-se as bases
[tex3]\frac{1}{3}=2x[/tex3] Isolando x
[tex3]x=\frac{1}{6}[/tex3] Esta é a resposta!!!

Exercício 2) Calcule o valor da incógnita “N” em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

a) [tex3]\log_5N=3[/tex3] Neste tipo de exercício não é necessário igualar a “x”, pois já há uma igualdade, vamos direto aplicar a equivalência fundamental.
[tex3]N=5^3[/tex3] Pronto, já temos a resposta, agora é só desenvolver a potência 3.
[tex3]N=125[/tex3] Esta é a resposta!!! 🙂

d) 

[tex3]\log_{\sqrt{3}}=2[/tex3]

Novamente, vamos direto aplicar a equivalência fundamental.
[tex3]N=(\sqrt{3})^2[/tex3] Pronto, já temos a resposta, agora é só desenvolver a potência 2.
[tex3]N=3[/tex3] Resposta final.

Exercício 3) Calcule o valor da incógnita “a” em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

a) [tex3]\log_{81}=4[/tex3] Este exercício também não precisa igualar a “x”, pois també já existe uma igualdade. Portanto, vamos direto aplicar a equivalência fundamental.
[tex3]81=a^4[/tex3] Vamos fatorar o 81.
[tex3]3^4=a^4[/tex3] Podemos cortar os expoentes
[tex3]a=3[/tex3] Pronto, esta é a resposta!

d) [tex3]\log_{9a}\sqrt{27}=\frac{1}{2}[/tex3] Este exercício parece ser bem mais complicado, mas não se assuste! Resolve-se da mesma forma. Vamos direto aplicar a equivalência fundamental.
[tex3]\sqrt{27}=(9a)^{\frac{1}{2}}[/tex3] Sabemos, pelas propriedades de potenciação, que ao elevar na potência 1/2 estamos na verdade tirando a raiz quadrada, portanto:
[tex3]\sqrt{27}=\sqrt{9a}[/tex3] Vamos aplicar as propriedades de radiciação e fatorar o 27:
[tex3]\sqrt{3^2\cdot 3}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{a}[/tex3]

[tex3]\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{a}[/tex3]

[tex3]3\sqrt{3}=3\sqrt{a}[/tex3]

Podemos cortar o 3 dos dois lados!
[tex3]\sqrt{3}=\sqrt{a}[/tex3]

[tex3](\sqrt{3})^2=(\sqrt{a})^2[/tex3]

[tex3]a=3[/tex3]

Esta é a resposta!! :)))

Exercício 4) O número real [tex3]x[/tex3], tal que [tex3]\log_{x}\(\frac{9}{4}\)=\frac{1}{2}[/tex3], é

Aplicamos a equivalência fundamental:

[tex3]\frac{9}{4}=x^{\frac{1}{2}}[/tex3]

Elevamos ambos os lados ao quadrado:

[tex3]\(\frac{9}{4}\)^2=\(x^{\frac{1}{2}}\)^2[/tex3]

[tex3]\frac{81}{16}=x[/tex3]

Resposta letra “A”


5) (PUCRS) Escrever [tex3]b^{\log_ba}=b^{-2}[/tex3], equivale a escrever:

Note que inicialmente temos uma exponencial com bases iguais a “b”, portanto, podemos cortar as bases e igualar os expoentes. Ficando com:

[tex3]\log ba=-2[/tex3]

Agora vamos aplicar a equivalência fundamental:

[tex3]a=b^{-2}[/tex3]

Aplicando as propriedades de potenciação:

[tex3]a=\frac{1}{b^2}[/tex3]

Resposta certa, letra “A”


Veja mais alguns exercícios resolvidos de logaritmos no fórum TutorBrasil:

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=1&t=5930
http://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=1&t=5165
http://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=3&t=25262
http://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=1&t=34899
http://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=1&t=28911

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O artigo da Wikipedia sobre logaritmos possui mais informações.