07 – Exercícios Propriedades Operatórias Logaritmos

Segue abaixo uma coletânea de exercícios resolvidos de logaritmos, propriedades operatórias de logaritmos.


1) (UCS) O valor de [tex3](\sqrt 2)^{\log_{\sqrt 2}\sqrt 3}[/tex3] é

(A) [tex3]\sqrt 3[/tex3]
(B) [tex3]\sqrt 2[/tex3]
(C) [tex3]\sqrt 6[/tex3]
(D) [tex3]2[/tex3]
(E) [tex3]2^3[/tex3]


2) (UFRGS) Se [tex3]\log(2)=a[/tex3] e [tex3]\log(3)=a+b[/tex3], então [tex3]\log\sqrt[3]{54}[/tex3] é

(A) [tex3]4a+b[/tex3]

(B) [tex3]12a+3b[/tex3]

(C) [tex3]\frac{a+4b}{3}[/tex3]

(D) [tex3]\frac{4a+3b}{3}[/tex3]

(E) [tex3]\frac{4a+b}{3}[/tex3]


3) (PUCRS) Se [tex3]\log(a)=4[/tex3] e [tex3]\log(b)=1[/tex3], então [tex3]\log\sqrt[3]{\frac{a^3}{b}}[/tex3] é igual a

(A) [tex3]\frac{1}{5}[/tex3]

(B) [tex3]\frac{11}{3}[/tex3]

(C) [tex3]\sqrt 3[/tex3]

(D) [tex3]3[/tex3]

(E) [tex3]5[/tex3]


4) (PUCRS) A solução da equação [tex3]8^{\log_8x}\cdot 8^{\log_84x}=1[/tex3] pertence ao intervalo

(A) [tex3]\left[-2,\,0\right)[/tex3]

(B) [tex3]\left[-\frac{1}{2},\,0\right)[/tex3]

(C) [tex3]\left[0,\,\frac{1}{2}\right)[/tex3]

(D) [tex3]\left[\frac{1}{4},\,\frac{1}{2}\right][/tex3]

(E) [tex3]\left[2,\,4\right][/tex3]


5) Dado [tex3]\log+5=P[/tex3], calcule o valor de [tex3]\log{200}[/tex3] em função de P

(A) [tex3]5P[/tex3]

(B) [tex3]200P[/tex3]

(C) [tex3]P-3[/tex3]

(D) [tex3]3-P[/tex3]

(E) [tex3]5-P[/tex3]


6) (CAJU) A solução para o sistema de equações:

[tex3]\begin{cases}x+y=13\\\log(x)+\log(y)=\log(36)\end{cases}[/tex3]

é

(A) (7, 6)

(B) (6, 7)

(C) (9, 4)

(D) (1, 12)

(E) (0, 36)


GABARITO
01 – A 02 – D 03 – B 04 – D 05 – D
06 – C

Exercícios Resolvidos de Logaritmos – Resolução

1) (UCS) O valor de [tex3](\sqrt 2)^{\log_{\sqrt 2}\sqrt 3}[/tex3] é

Veja que esta é uma aplicação direta da 4° conseqüência da definição de logaritmos podemos cortar os termos [tex3]\sqrt{2}[/tex3]:

[tex3](\cancel{\sqrt 2})^{\log_{\cancel{\sqrt 2}}\sqrt 3}\,\,=\,\,\boxed{\sqrt{3}}[/tex3]

Resposta letra “A”


2) (UFRGS) Se [tex3]\log(2)=a[/tex3] e [tex3]\log(3)=a+b[/tex3], então [tex3]\log\sqrt[3]{54}[/tex3] é

Este tipo de questão começamos fatorando o termo que estiver no logaritmando:

[tex3]\log\sqrt[3]{54}=\log\sqrt[3]{3^3\cdot+2}[/tex3]

Agora podemos aplicar as propriedades de radiciação :

[tex3]\log\sqrt[3]{3^3\cdot+2}=\log\left(\sqrt[3]{3^3}\cdot\sqrt[3]{2}\right)=\log\left(3\cdot\sqrt[3]2\right)[/tex3]

Então as propriedades operatórias dos logaritmos:

[tex3]\log\left(3\cdot\sqrt[3]2\right)=\log{3}+\log\sqrt[3]2=\log{3}+\frac{1}{3}\cdot\log{2}[/tex3]

Agora é só substituir os valores dados no enunciado:

[tex3]a+b+\frac{1}{3}\cdot+a=\frac{4a+3b}{3}[/tex3]

Resposta certa, letra “D”.


3) (PUCRS) Se [tex3]\log(a)=4[/tex3] e [tex3]\log(b)=1[/tex3], então [tex3]\log\sqrt[3]{\frac{a^3}{b}}[/tex3] é igual a

Agora a questão é ao contrário. Começamos aplicando as propriedades operatórias no logaritmo pedido:

[tex3]\log\sqrt[3]{\frac{a^3}{b}}=\frac{1}{3}\cdot\log\left(\frac{a^3}{b}\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(\log{(a^3)}-\log{b}\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(3\cdot\log{a}-\log{b}\right)[/tex3]

Agora sim substituímos os valores dados no enunciado na expressão acima:

[tex3]\frac{1}{3}\cdot\left(3\cdot4-1\right)=\frac{11}{3}[/tex3]

Resposta correta, letra “B”.


4) (PUCRS) A solução da equação [tex3]8^{\log_8x}\cdot8^{\log_84x}=1[/tex3] pertence ao intervalo

Começamos aplicando a 4° conseqüência da definição de logaritmos:

[tex3]\bcancel{8}^{\cancel{\log_8}x}\cdot\bcancel{8}^{\cancel{\log_8}4x}=1[/tex3]

[tex3]x\cdot+4x=1[/tex3]

[tex3]4x^2=1[/tex3]

[tex3]x^2=\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]x=\pm\frac{1}{2}[/tex3]

Veja que [tex3]x[/tex3] é logaritmando na equação do enunciado. Respeitando as condições de existência dos logaritmos, não podemos ter logaritmando negativo, ou seja, descartamos o valor [tex3]x=-\frac{1}{2}[/tex3].

Resposta final [tex3]x=\frac{1}{2}[/tex3], ou seja, está no intervalo da alternativa “D”.


5) Dado [tex3]\log+5=P[/tex3], calcule o valor de [tex3]\log{200}[/tex3] em função de P

Foi dado apenas uma informação, o valor de [tex3]\log+5[/tex3].

Portanto, devemos moldar os valores no logaritmo que está sendo pedido em função do número 5. Veja só, vamos fatorar o 200:

[tex3]\log{200}=\log{(2^3\cdot+5^2)}[/tex3]

Aplicar as propriedades dos logaritmos:

[tex3]\log{2^3}+\log{5^2}\\3\cdot\log{2}+2\cdot\log{5}[/tex3]

Só que o problema agora é descobrir o valor de [tex3]\log 2[/tex3]. Aí que vem a manha. Veja que podemos trocar o valor 2 como sendo [tex3]\frac{10}{5}[/tex3]

[tex3]\log+2=\log{\frac{10}{5}}=\log+10-\log+5[/tex3]

Sabemos que [tex3]\log 10 = 1[/tex3] e [tex3]\log 5 = P[/tex3], portanto, [tex3]\log 2 = 1 – P[/tex3].

Agora que sabemos o valor de [tex3]\log 2 = 1 – P[/tex3] e [/tex3]\log 5 = P[/tex3] podemos descobrir o valor de [tex3]\log 200[/tex3].

[tex3]\log+200+=+3\cdot\log+2+2\cdot\log+5=3\cdot(1-P)+2\cdot+P=3-P[/tex3]

Resposta correta, “D”.


6) (CAJU) A solução para o sistema de equações: [tex3]\begin{cases}x+y=13\\\log(x)+\log(y)=\log(36)\end{cases}[/tex3] é

Devemos começar transformando a equação que envolve logaritmos em uma equação sem log.

Aplicamos, no lado esquerdo, a propriedade operatória dos logaritmos:

[tex3]\log(x\cdot+y)=\log(36)[/tex3]

Agora a 5° conseqüência da definição de logaritmos:

[tex3]x\cdot+y=36[/tex3]

Agora temos um sistema mais simples de ser resolvido:

[tex3]\begin{cases}x+y=13\\x\cdot+y=36\end{cases}[/tex3]

Que pode ser resolvido isolando quase de cabeça:

[tex3]x=9\\y=4[/tex3]

Alternativa correta, letra “C”.