03 – Equivalência Fundamental

Com a idéia básica vista nos dois capítulos anteriores podemos dar mais um passo. Agora sim em direção a uma matéria que já pode ser cobrada no vestibular (ah, mas mesmo a matéria anterior não sendo cobrada diretamente, é necessário sabê-la para compreender esta aqui e as posteriores). É a equivalência fundamental dos logaritmos!

Lembrando que o logaritmo é um expoente, podemos enunciar a equivalência fundamental dos logaritmos:

EQUIVALÊNCIA FUNDAMENTAL

[tex3]\Large{\boxed{\log_bN=x\hspace{15pt}\leftrightarrow\hspace{15pt}N=b^x}}[/tex3]

Note que temos, na expressão acima, exatamente as duas maneiras de mostrar a pergunta feita no início do estudo de logaritmos: “Qual o expoente x que devemos elevar a baseb para resultar N“.

Esta equivalência é muito importante, pois muitos exercícios sobre logaritmos necessitam dela para sua resolução. Veja, que, a flecha indicada nessa propriedade está nos dois sentidos, ou seja, você pode transformar logaritmo em exponencial e exponencial em logaritmos.

Vamos dar um exemplo de cada:


Ex. 1 – Qual o logaritmo de 216 na base 6?

Em outras palavras, podemos escrever esta pergunta como:

[tex3]\log_6216=x[/tex3]

Onde x é o valor procurado, ou seja, o logaritmo elucidado no enunciado.

Agora, para resolver, aplicamos a equivalência fundamental:

[tex3]\log_6216=x\hspace{15pt}\leftrightarrow\hspace{15pt}216=6^x[/tex3]

Caímos em uma exponencial, para resolver devemos igualar as bases (como visto na lição anterior). Fatorando o [tex3]216=6^3[/tex3].

[tex3]6^3=6^x[/tex3]

Cortando as bases

[tex3]x=3[/tex3]

Portanto, [tex3]\boxed{\boxed{\log_{6}216=3x=3}}[/tex3]


Ex. 2 – Qual o valor de “x” na equação [tex3]5^x=6[/tex3]?

Estamos perguntando: “Qual o expoente x que devemos elevar a base 5 para resultar 6 ?”. Aplicando a “volta” da equivalência fundamental podemos escrever esta igualdade como sendo:

[tex3]5^x=6\hspace{15pt}\leftrightarrow\hspace{15pt}x=\log_56[/tex3]

Este é o valor de x


Ex. 2 (UFRGS) A forma exponencial da igualdade [tex3]\log_ab=c[/tex3] é:

(A) [tex3]a=b^c[/tex3]
(B) [tex3]b=a^c[/tex3]
(C) [tex3]c=b^a[/tex3]
(D) [tex3]b=c^a[/tex3]
(E) [tex3]c=a^b[/tex3]

Esta é só aplicar a equivalência fundamental.

[tex3]b=a^c[/tex3]

Resposta correta, letra “B”.


Veja agora alguns exemplos de aplicação da equivalência fundamental:

[tex3]\log_5625[/tex3] Este é o logaritmo que queremos saber. Primeiro de tudo devemos igualar a “x”.
[tex3]\log_5625=x[/tex3] Agora é só usar a equivalência fundamental
[tex3]625=5^x[/tex3] Caímos em uma equação exponencial. Vamos fatorar!
[tex3]5^4=5^x[/tex3] Bases igualada é só cortar.
[tex3]x=4[/tex3] Esta é a resposta: [tex3]\boxed{\boxed{\log_5625=4}}[/tex3]

Mais um exemplo:

[tex3]\log_3243[/tex3]

Sempre, o que devemos fazer primeiro é igualar a “x”.

[tex3]\log_3243=x[/tex3]

Aplicando a equivalência fundamental.

[tex3]243=3^x[/tex3]

Esta é uma exponencial. Fatorando.

[tex3]3^5=3^x[/tex3]

Cortando as bases

[tex3]x=5[/tex3]

Esta é a resposta: [tex3]\boxed{\boxed{\log_3243=5}}[/tex3]

Mais um exemplo nunca é demais:

[tex3]\log_{25}(0,2)[/tex3]

Igualando a “x”.

[tex3]\log_{25}(0,2)=x[/tex3]

Aplicando a equivalência fundamental.

[tex3]0,2=25^x[/tex3]

Agora para facilitar o cálculo, vamos transformar o número decimal em fração e fatorar o que der.
[tex3]\frac{1}{5}=(5^2)^x[/tex3] Aplicando as propriedades de potenciação.

[tex3]5^{-1}=5^{2x}[/tex3]

Cortando as bases.

[tex3]-1=2x[/tex3]

[tex3]x=-\frac{1}{2}[/tex3]

Esta é a resposta: [tex3]\boxed{\boxed{\log_{25}(0,2)=-\frac{1}{2}}}[/tex3]

Esta é a técnica para se calcular o valor do logaritmo de algum número em uma base definida. Na próxima página há alguns exercícios para você resolver e comparar com a nossa resolução.

Veja no próximo tópico as propriedades fundamentais de logaritmo para cálculo de equações.