Com a idéia básica vista nos dois capítulos anteriores podemos dar mais um passo. Agora sim em direção a uma matéria que já pode ser cobrada no vestibular (ah, mas mesmo a matéria anterior não sendo cobrada diretamente, é necessário sabê-la para compreender esta aqui e as posteriores). É a equivalência fundamental dos logaritmos!
Lembrando que o logaritmo é um expoente, podemos enunciar a equivalência fundamental dos logaritmos:
| EQUIVALÊNCIA FUNDAMENTAL | |
Note que temos, na expressão acima, exatamente as duas maneiras de mostrar a pergunta feita no início do estudo de logaritmos: “Qual o expoente x que devemos elevar a baseb para resultar N“. |
Esta equivalência é muito importante, pois muitos exercícios sobre logaritmos necessitam dela para sua resolução. Veja, que, a flecha indicada nessa propriedade está nos dois sentidos, ou seja, você pode transformar logaritmo em exponencial e exponencial em logaritmos.
Vamos dar um exemplo de cada:
Ex. 1 – Qual o logaritmo de 216 na base 6?
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Em outras palavras, podemos escrever esta pergunta como: [tex3]\log_6216=x[/tex3] Onde x é o valor procurado, ou seja, o logaritmo elucidado no enunciado. Agora, para resolver, aplicamos a equivalência fundamental: [tex3]\log_6216=x\hspace{15pt}\leftrightarrow\hspace{15pt}216=6^x[/tex3] Caímos em uma exponencial, para resolver devemos igualar as bases (como visto na lição anterior). Fatorando o [tex3]216=6^3[/tex3]. [tex3]6^3=6^x[/tex3] Cortando as bases [tex3]x=3[/tex3] Portanto, [tex3]\boxed{\boxed{\log_{6}216=3x=3}}[/tex3] |
Ex. 2 – Qual o valor de “x” na equação [tex3]5^x=6[/tex3]?
| Estamos perguntando: “Qual o expoente x que devemos elevar a base 5 para resultar 6 ?”. Aplicando a “volta” da equivalência fundamental podemos escrever esta igualdade como sendo:
[tex3]5^x=6\hspace{15pt}\leftrightarrow\hspace{15pt}x=\log_56[/tex3] Este é o valor de x |
Ex. 2 (UFRGS) A forma exponencial da igualdade [tex3]\log_ab=c[/tex3] é:
(A) [tex3]a=b^c[/tex3]
(B) [tex3]b=a^c[/tex3]
(C) [tex3]c=b^a[/tex3]
(D) [tex3]b=c^a[/tex3]
(E) [tex3]c=a^b[/tex3]
| Esta é só aplicar a equivalência fundamental.
[tex3]b=a^c[/tex3] Resposta correta, letra “B”. |
Veja agora alguns exemplos de aplicação da equivalência fundamental:
| [tex3]\log_5625[/tex3] | Este é o logaritmo que queremos saber. Primeiro de tudo devemos igualar a “x”. |
| [tex3]\log_5625=x[/tex3] | Agora é só usar a equivalência fundamental |
| [tex3]625=5^x[/tex3] | Caímos em uma equação exponencial. Vamos fatorar! |
| [tex3]5^4=5^x[/tex3] | Bases igualada é só cortar. |
| [tex3]x=4[/tex3] | Esta é a resposta: [tex3]\boxed{\boxed{\log_5625=4}}[/tex3] |
Mais um exemplo:
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[tex3]\log_3243[/tex3] |
Sempre, o que devemos fazer primeiro é igualar a “x”. |
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[tex3]\log_3243=x[/tex3] |
Aplicando a equivalência fundamental. |
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[tex3]243=3^x[/tex3] |
Esta é uma exponencial. Fatorando. |
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[tex3]3^5=3^x[/tex3] |
Cortando as bases |
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[tex3]x=5[/tex3] |
Esta é a resposta: [tex3]\boxed{\boxed{\log_3243=5}}[/tex3] |
Mais um exemplo nunca é demais:
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[tex3]\log_{25}(0,2)[/tex3] |
Igualando a “x”. |
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[tex3]\log_{25}(0,2)=x[/tex3] |
Aplicando a equivalência fundamental. |
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[tex3]0,2=25^x[/tex3] |
Agora para facilitar o cálculo, vamos transformar o número decimal em fração e fatorar o que der. |
| [tex3]\frac{1}{5}=(5^2)^x[/tex3] | Aplicando as propriedades de potenciação. |
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[tex3]5^{-1}=5^{2x}[/tex3] |
Cortando as bases. |
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[tex3]-1=2x[/tex3] [tex3]x=-\frac{1}{2}[/tex3] |
Esta é a resposta: [tex3]\boxed{\boxed{\log_{25}(0,2)=-\frac{1}{2}}}[/tex3] |
Esta é a técnica para se calcular o valor do logaritmo de algum número em uma base definida. Na próxima página há alguns exercícios para você resolver e comparar com a nossa resolução.
Veja no próximo tópico as propriedades fundamentais de logaritmo para cálculo de equações.