Agora que já estudamos todas propriedades dos logaritmos, podemos ver como aplicá-las na resolução de equações logarítmicas.
Como já vimos, para existir uma equação, devemos ter um sinal de igualdade na expressão matemática (=). Sem esse sinal, não temos uma equação, apenas uma expressão.
E, para ser uma equação logarítmica, além de ter o sinal de igualdade, temos que ter a incógnita do problema (normalmente [tex3]x[/tex3]) dentro de um símbolo [tex3]\log[/tex3].
Para resolver este tipo de equação não existe um mecanismo geral, algo que dê pra dizer, aplique isso e você acertará.
Uma regra que deve sempre ser seguida ao terminar a resolução de uma equação logarítmica, é a seguinte:
| Todas as soluções encontradas devem ser TESTADAS na equação ORIGINAL, afim de verificar as condições de existência.
As soluções que não satisfizerem as condições de existência, devem ser DESCARTADAS! |
Portanto, para aprendermos a resolver equações logarítmicas, vamos dar uma olhada em algumas questões chave de provas passadas.
Exemplo 1
O conjunto solução da equação logarítmica [tex3]\log_4(x+x^{2})=\frac{1}{2}[/tex3] é:
(A) {-1; 2}
(B) {-2; 1}
(C) {-2}
(D) {1}
(E) { }
| Começamos aplicando apenas a equivalência fundamental:
[tex3]x+x^2=4^{\frac{1}{2}}[/tex3] [tex3]x+x^2=2[/tex3] [tex3]x^2+x-2=0[/tex3] Agora é só aplicar a fórmula de Bhaskara. [tex3]x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}\hspace{3pt} \longrightarrow \hspace{3pt}\begin{cases}x’=1 \\ x”=-2\end{cases}[/tex3] Chegando no valor de [tex3]x[/tex3] devemos TESTAR AS SOLUÇÕES, como dito na única regra de resolução de equações logarítmicas. Verificação: Para [tex3]\boxed{x=1}[/tex3]: [tex3]\log_4(1+1^2) \hspace{4pt} \rightarrow \hspace{4pt}\log_42=\frac{1}{2}[/tex3], OK Para [tex3]\boxed{x=-2}[/tex3]: [tex3]\log_4[-2+(-2)^2]\hspace{4pt} \rightarrow\hspace{4pt}\log_42=\frac{1}{2}[/tex3], OK Portanto, as duas respostas são válidas. E a alternativa correta é a letra “B” |
Exemplo 2
O número real x que satisfaz a equação [tex3]\log_2(12-2^x)=2x[/tex3] é:
(A) [tex3]\log_25[/tex3]
(B) [tex3]\log_2\sqrt{3}[/tex3]
(C) [tex3]2[/tex3]
(D) [tex3]\log_2\sqrt{5}[/tex3]
(E) [tex3]\log_23[/tex3]
| Aplicamos a equivalência fundamental:
[tex3]12-2^x=2^{2x}[/tex3] [tex3]2^{2x}+2^x-12=0[/tex3] [tex3](2^{x})^2+2^x-12=0[/tex3] Agora caímos em uma equação exponencial do tipo II. Efetuando a troca de variáveis [tex3]2^{x}=y[/tex3], temos: [tex3]y^2+y-12=0[/tex3] Aplicamos Bhaskara e chegamos em: [tex3]y=-4\textrm{ e }y=3[/tex3] Agora voltamos para [tex3]x[/tex3] utilizando novamente a troca de variáveis feita inicialmente [tex3]2^{x}=y[/tex3] : [tex3]2^x=-4[/tex3] Absurdo! [tex3]2^x=3[/tex3] Aplicamos a equivalência fundamental, [tex3]x=\log_23[/tex3] Agora devemos testar esta solução na equação original do enunciado. Substituindo este valor de x na equação: [tex3]\log_2(12-2^{\log_23})[/tex3] Aplicamos a 4° conseqüência da definição do logaritmo: [tex3]\log_2(12-3)[/tex3] [tex3]\log_29[/tex3] [tex3]\log_23^2[/tex3] Aplicamos a 3° propriedade operatória [tex3]2\log_23[/tex3], OK. É válida! Resposta correta, letra “E”. |
Exemplo 3
A equação [tex3]\log_3x=1+\log_x9[/tex3] tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é:
(A) [tex3]0[/tex3]
(B) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
(C) [tex3]9[/tex3]
(D) [tex3]6[/tex3]
(E) [tex3]3[/tex3]
| Esta equação já envolve um truquezinho, igual às equações exponenciais do tipo II.
Começamos vendo que o 9 na equação pode virar 3². [tex3]\log_3x=1+\log_x(3^2)[/tex3] E aplicamos a 3° propriedade operatória: [tex3]\log_3x=1+2\log_x3[/tex3] O pulo do gato vem agora. Devemos ver que os dois logaritmos envolvidos na equação acima são um o inverso do outro (1° consequência da mudança de base). [tex3]\log_3x=1+2\cdot\frac{1}{\log_3x}[/tex3] [tex3]\log_3x=1+\frac{2}{\log_3x}[/tex3] Agora devemos mudar a variável. Efetuamos a troca [tex3]\log_3x=y[/tex3]: [tex3]y=1+\frac{2}{y}[/tex3] Podemos multiplicar ambos os lados por [tex3]y[/tex3], ou efetuar MMC, tanto faz. Chegamos em: [tex3]y^2=y+2[/tex3] [tex3]y^2-y-2=0[/tex3] Aplicamos Bhaskara e chegamos em [tex3]y=2\textrm{ ou }y=-1[/tex3]. Estes são os valores de [tex3]y[/tex3], o exercício quer os valores de [tex3]x[/tex3]. Portanto, utilizamos a troca inicial novamente [tex3]\log_3x=y[/tex3]: Para [tex3]\boxed{y=2}[/tex3]: [tex3]\log_3x=2\rightarrow x=3^2\rightarrow \boxed{x=9}[/tex3] Para [tex3]\boxed{y=-1}[/tex3]: [tex3]\log_3x=-1\rightarrow x=3^{-1}\rightarrow \boxed{x=\frac{1}{3}}[/tex3] O produto destes dois valores (como pedido no enunciado) é [tex3]9\cdot\frac{1}{3}=3[/tex3]. Resposta, letra “E”. |
Exemplo 4
(UFRGS) A solução da equação [tex3]\log_2(4-x)=\log_2(x+1)+1[/tex3] está no intervalo:
(A) [-2; -1]
(B) (-1; 0]
(C) (0; 1]
(D) (1; 2]
(E) (2; 3]
| Esta equação devemos apenas trazer todos os logs para o mesmo lado da igualdade e aplicar as propriedades operatórias:
[tex3]\log_2(4-x)-\log_2(x+1)=1[/tex3] Aplicamos a 2° propriedade operatória dos logaritmos: [tex3]\log_2\left(\frac{4-x}{x+1}\right)=1[/tex3] Aplicamos a equivalência fundamental: [tex3]\frac{4-x}{x+1}=2^1[/tex3] [tex3]4-x=2\cdot(x+1)[/tex3] [tex3]4-x=2x+2[/tex3] [tex3]x=\frac{2}{3}[/tex3] Agora testamos na equação original (do enunciado) para ver as condições de existência. Para isso, substituímos o valor de [tex3]x[/tex3] encontrado na equação do enunciado: [tex3]\log_2\(4-\frac{2}{3}\)=\log_2\(\frac{2}{3}+1\)+1[/tex3] [tex3]\log_2\(\frac{10}{3}\)=\log_2\(\frac{5}{3}\)+1[/tex3] Neste momento não precisamos continuar, só o que devemos saber é que, ao substituir o valor de [tex3]x[/tex3], não encontramos nenhuma falha nas condições de existência dos logaritmos envolvidos. Portanto, a resposta é [tex3]\frac{2}{3}=0,6666…[/tex3] mesmo. Este valor encontra-se entre 0 e 1. Resposta correta, letra “C”. |