Depois de já termos definido, vamos estudar algumas consequências da mudança de bases de logaritmos.
A mudança de base nos dá mais algumas ferramentas para utilizar calculando expressões que envolvam logaritmos.
1° Consequência:
[tex3]\boxed{\Large\log_ab=\frac{1}{\log_ba}}[/tex3]
Essa consequência nos diz que, ao invertermos um logaritmo, devemos trocar a base e o logaritmando de lugar.
Por exemplo: o inverso de [tex3]\log_4{56}[/tex3] é [tex3]\frac{1}{\log_4{56}}[/tex3], e, por essa consequência, podemos escrever [tex3]\frac{1}{\log_4{56}}=\log_{56}4[/tex3].
A demonstração desta propriedade é através da mudança de base. Partimos de [tex3]\log_ab[/tex3] e efetuamos a mudança de base para a nova base [tex3]b[/tex3].
[tex3]\log_ab=\frac{\log_bb}{\log_ba}[/tex3]
Mas, sabemos que [tex3]\log_bb=1[/tex3], portanto:
[tex3]\boxed{\boxed{\log_ab=\frac{1}{\log_ba}}}[/tex3]
Como queríamos demonstrar.
Veja como pode cair em uma prova do ENEM ou de um concurso esta propriedade através do exemplo abaixo:
(CAJU) Sendo [tex3]\log_727=a[/tex3] calcule o valor de [tex3]\log_37[/tex3] .
| Podemos rescrever a informação [tex3]\log_727=a[/tex3] como sendo [tex3]\log_7(3^3)=a[/tex3] e aplicar a 3° Propriedade Operatória:
[tex3]3\log_73=a[/tex3] Veja que agora temos um logaritmo que é exatamente o inverso do logaritmo pedido no enunciado. Portanto, podemos modificar a expressão acima para: [tex3]3\cdot\frac{1}{\log_37}=a[/tex3] E agora isolar o valor solicitado no enunciado: [tex3]\boxed{\boxed{\log_37=\frac{3}{a}}}[/tex3] |
2° Consequência:
[tex3]\boxed{\Large\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac}[/tex3]
Quando temos uma multiplicação de dois logaritmos em que um deles possui a base igual ao logaritmando do outro, podemos cortar estes dois e transformar em um logaritmo só:
A demonstração também não é difícil e só utiliza a troca de base.
Partimos da multiplicação:
[tex3]\log_ab\cdot\log_bc[/tex3]
E trocamos os dois logaritmos para uma base comum qualquer. Pode ser qualquer uma! Vou escolher a base a. Ou seja, trocamos as bases dos dois logaritmos para a base a (no caso, o primeiro logaritmo já está na base a, portanto, não precisamos mexer nele):
[tex3]\log_ba\cdot\frac{\log_ac}{\log_ab}[/tex3]
Agora os dois termos [tex3]\log_ba[/tex3] podem se cortar, e sobra:
[tex3]\cancel{\log_ba}\cdot\frac{\log_ac}{\cancel{\log_ab}}[/tex3]
[tex3]\log_ac[/tex3]
Como queríamos demonstrar.
Veja como pode cair em uma prova do ENEM ou de um concurso:
(CAJU)Calcule o valor da expressão [tex3]\log_58\cdot\log_67\cdot\log_836\cdot\log_75[/tex3].
| Começamos somente reagrupando os fatores de maneira a nos facilitar os cortes. Vamos colocar o quarto logaritmo do lado do segundo:
[tex3]\underbrace{\log_58\cdot\log_75}\cdot\log_67\cdot\log_836[/tex3] Agora veja que os fatores grifados acima podem ser unidos em um só ao cortar a base 5 do da esquerda com o logaritmando 5 do da direita: [tex3]\underbrace{\log_78\cdot\log_67}\cdot\log_836[/tex3] Estes novos termos grifados acima podem ser unidos também ao cortar a base 7 com o logaritmando 7: [tex3]\log_68\cdot\log_836[/tex3] Estes dois logaritmos que sobraram podem ser unidos ao cortar a base 8: [tex3]\log_636[/tex3] Agora para descobrir o valor deste logaritmo, aplicamos a equivalência fundamental: [tex3]\log_636=x[/tex3] [tex3]36=6^x[/tex3] [tex3]6^2=6^x[/tex3] [tex3]\boxed{\boxed{x=2}}[/tex3] Esta é a resposta final do exercício. |