09 – Conseqüências da Mudança de Base

Depois de já termos definido, vamos estudar algumas consequências da mudança de bases de logaritmos.

A mudança de base nos dá mais algumas ferramentas para utilizar calculando expressões que envolvam logaritmos.

1° Consequência:

[tex3]\boxed{\Large\log_ab=\frac{1}{\log_ba}}[/tex3]

Essa consequência nos diz que, ao invertermos um logaritmo, devemos trocar a base e o logaritmando de lugar.

Por exemplo: o inverso de [tex3]\log_4{56}[/tex3] é [tex3]\frac{1}{\log_4{56}}[/tex3], e, por essa consequência, podemos escrever [tex3]\frac{1}{\log_4{56}}=\log_{56}4[/tex3].

A demonstração desta propriedade é através da mudança de base. Partimos de [tex3]\log_ab[/tex3] e efetuamos a mudança de base para a nova base [tex3]b[/tex3].

[tex3]\log_ab=\frac{\log_bb}{\log_ba}[/tex3]

Mas, sabemos que [tex3]\log_bb=1[/tex3], portanto:

[tex3]\boxed{\boxed{\log_ab=\frac{1}{\log_ba}}}[/tex3]

Como queríamos demonstrar.

Veja como pode cair em uma prova do ENEM ou de um concurso esta propriedade através do exemplo abaixo:


(CAJU) Sendo [tex3]\log_727=a[/tex3] calcule o valor de [tex3]\log_37[/tex3] .

Podemos rescrever a informação [tex3]\log_727=a[/tex3] como sendo [tex3]\log_7(3^3)=a[/tex3] e aplicar a 3° Propriedade Operatória:

[tex3]3\log_73=a[/tex3]

Veja que agora temos um logaritmo que é exatamente o inverso do logaritmo pedido no enunciado. Portanto, podemos modificar a expressão acima para:

[tex3]3\cdot\frac{1}{\log_37}=a[/tex3]

E agora isolar o valor solicitado no enunciado:

[tex3]\boxed{\boxed{\log_37=\frac{3}{a}}}[/tex3]


2° Consequência:

[tex3]\boxed{\Large\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac}[/tex3]

Quando temos uma multiplicação de dois logaritmos em que um deles possui a base igual ao logaritmando do outro, podemos cortar estes dois e transformar em um logaritmo só:

Multiplicação de logaritmos
Multiplicação de logaritmos

A demonstração também não é difícil e só utiliza a troca de base.

Partimos da multiplicação:

[tex3]\log_ab\cdot\log_bc[/tex3]

E trocamos os dois logaritmos para uma base comum qualquer. Pode ser qualquer uma! Vou escolher a base a. Ou seja, trocamos as bases dos dois logaritmos para a base a (no caso, o primeiro logaritmo já está na base a, portanto, não precisamos mexer nele):

[tex3]\log_ba\cdot\frac{\log_ac}{\log_ab}[/tex3]

Agora os dois termos [tex3]\log_ba[/tex3] podem se cortar, e sobra:

[tex3]\cancel{\log_ba}\cdot\frac{\log_ac}{\cancel{\log_ab}}[/tex3]

[tex3]\log_ac[/tex3]

Como queríamos demonstrar.


Veja como pode cair em uma prova do ENEM ou de um concurso:

(CAJU)Calcule o valor da expressão [tex3]\log_58\cdot\log_67\cdot\log_836\cdot\log_75[/tex3].

Começamos somente reagrupando os fatores de maneira a nos facilitar os cortes. Vamos colocar o quarto logaritmo do lado do segundo:

[tex3]\underbrace{\log_58\cdot\log_75}\cdot\log_67\cdot\log_836[/tex3]

Agora veja que os fatores grifados acima podem ser unidos em um só ao cortar a base 5 do da esquerda com o logaritmando 5 do da direita:

[tex3]\underbrace{\log_78\cdot\log_67}\cdot\log_836[/tex3]

Estes novos termos grifados acima podem ser unidos também ao cortar a base 7 com o logaritmando 7:

[tex3]\log_68\cdot\log_836[/tex3]

Estes dois logaritmos que sobraram podem ser unidos ao cortar a base 8:

[tex3]\log_636[/tex3]

Agora para descobrir o valor deste logaritmo, aplicamos a equivalência fundamental:

[tex3]\log_636=x[/tex3]

[tex3]36=6^x[/tex3]

[tex3]6^2=6^x[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{x=2}}[/tex3]

Esta é a resposta final do exercício.