Considerando a definição do logaritmo e todas condições de existência, existem alguma propriedades que os logaritmos sempre obedecem.
| 1° Conseqüência: [tex3]\Large{\boxed{\log_b1=0}}[/tex3] |
A pergunta feita por este logaritmo, é: Qual o expoente que devemos elevar a base “b” para obter 1? Como sabemos que qualquer número elevado à ZERO é um, então o logaritmo de 1 em qualquer base é ZERO também. Esta propriedade está provada.
Utilizando a equivalência fundamental para provar que resulta ZERO. Então vamos igualar a x:
| [tex3]\log_b1=x[/tex3] | Aplicamos a equivalência fundamental |
| [tex3]1=b^x[/tex3] | Agora devemos recordar que qualquer base elevada à ZERO resulta 1. |
| [tex3]x=0[/tex3] |
| 2°Conseqüência: [tex3]\Large{\boxed{\log_bb=1}}[/tex3] |
Qual o expoente que devemos elevar a base “b” para obtermos “b”? Se não houve modificação no número, então o expoente é 1.
Novamente, com a equivalência fundamental (agora um pouco mais sucinto):
[tex3]\log_bb=x\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}+b=b^x\rightarrow+x=1[/tex3]
| 3°Conseqüência: [tex3]\Large{\boxed{\log_a(a^m)=m}}[/tex3] |
Qual o expoente devemos elevar a base a para obtermos am? É uma pergunta quase óbvia, o expoente ém.
Equivalência fundamental:
[tex3]\log_a(a^m)=x\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}a^m=a^x\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}x=m[/tex3]
| 4°Conseqüência: [tex3]\Large{\boxed{a^{\log_ab}=b}}[/tex3] |
Esta é a mais importante das propriedades, e sua demonstração não é tão trivial assim.
Vou tentar mostrar com uma questão:
Qual o valor de x na expressão [tex3]x=5^{\log_53}[/tex3].
Vamos substituir [tex3]\log_53[/tex3] por “y”. Com isso teremos:
[tex3]y=\log_53[/tex3]
[tex3]x=5^y[/tex3]
Aplicando a volta da equivalência fundamental:
[tex3]\log_5x=y[/tex3]
Agora, substituindo o valor original de “y”:
[tex3]\log_5x=\log_53[/tex3]
Com isso podemos cortar os logaritmos de base 5 dos dois lados da igualdade.
[tex3]x=3[/tex3]
Assim, teremos a propriedade:
| 4° Conseqüência |
|
|
Ou seja, quando tivermos uma potência, em forma de logaritmo com a mesma base desta potência, podemos cortar.
| 5°Conseqüência: [tex3]\Large{\boxed{\log_ab=\log_ac\hspace{5pt}\leftrightarrow\hspace{5pt}+b=c}}[/tex3] |
Trocando em miúdos, podemos dizer que, quando temos um logaritmo de cada lado da igualdade, ambos a mesma base, podemos “cortar” os logaritmos e igualar os logaritmandos.
[tex3]\bcancel{\log_a}b=\bcancel{\log_a}c[/tex3]
[tex3]b=c[/tex3]
A demonstração começa aplicando a equivalência fundamental. Chamamos [tex3]\log_ac=y[/tex3]:
| [tex3]\log_ab=y[/tex3] | Aplicamos a equivalência fundamental |
| [tex3]b=a^y[/tex3] | Agora voltamos a substituição [tex3]\log_ac=y[/tex3] |
| [tex3]b=a^{\log_ac}[/tex3] | Podemos então aplicar a 4° propriedade |
| [tex3]b=c[/tex3] | Como queríamos demonstrar |