09 – Vértice da Parábola e sua Imagem

Cálculo das coordenadas do Vértice da parábola.

Vamos aprender a calcular o vértice da parábola.

Primeiro, para nos situarmos nos estudos: o que é vértice de uma parábola?
– É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo.

Como assim?

Veja os exemplos abaixo:

Parábola com concavidade para cima mostrando o vértice da parábolaVértice de uma parábola com concavidade para baixo, mostrando o vértice da parábola.

O vértice de qualquer parábola possui uma característica própria: ele sempre se encontra “equidistante” de ambas as raízes. Ou seja, a coordenada “x” do vértice fica exatamente no meio das coordenadas das duas raízes.

Trocando em miúdos, a coordenada “x” do vértice é a média aritmética das coordenadas “x” das raízes. Isto é, a soma das duas raízes dividido por dois. Vamos chamá-lo de [tex3]x_v[/tex3] ([tex3]x[/tex3] do vértice):

[tex3]x_v=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-\frac{b}{a}}{2}[/tex3]

[tex3]x_v=-\frac{b}{2a}[/tex3]

Esta é a fórmula para encontrarmos o[tex3]x_v[/tex3].

Se você não conseguir se lembrar na hora, faça a dedução como está aí em cima. É bem fácil!

[tex3]\boxed{\Large x_v=-\frac{b}{2a}}[/tex3]

Agora que já sabemos o [tex3]x_v[/tex3], devemos descobrir o[tex3]y_v[/tex3] ([tex3]y[/tex3] do vértice). Este valor podemos conseguir substituindo o [tex3]x[/tex3] da função pelo [tex3]x_v[/tex3], pois com isso estaremos calculando qual o valor de [tex3]y[/tex3] para o [tex3]x_v[/tex3], que é justamente o [tex3]y_v[/tex3] ou [tex3]f(x_v)[/tex3].

A equação geral de uma função do segundo grau é [tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3]. Então vamos substituir todos [tex3]x[/tex3] pelo valor de [tex3]x_v[/tex3] da fórmula acima:

[tex3]f(x_v)=a\(-\frac{b}{2a}\)+b\(-\frac{b}{2a}\)+c[/tex3]

[tex3]f(x_v)=\frac{ab^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}+c[/tex3]

[tex3]f(x_v)=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c[/tex3]

[tex3]f(x_v)=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}[/tex3]

[tex3]f(x_v)=\frac{-b^2+4ac}{4a}[/tex3]

[tex3]f(x_v)=\frac{-(b^2-4ac)}{4a}[/tex3]

Veja que na última igualdade temos como denominador [tex3]-(b^2-4ac)[/tex3] e isso é justamente igual à [tex3]-\Delta[/tex3], portanto a fórmula final para o cálculo de [tex3]y_v[/tex3], também chamado de [tex3]f(x_v)[/tex3] é:

[tex3]\boxed{\Large y_v=-\frac{\Delta}{4a}}[/tex3]

IMAGEM

Agora que já vimos como calcular o [tex3]y_v[/tex3], podemos calcular a imagem de qualquer função do segundo grau.

Imagem de uma função, como vocês se lembram, é o conjunto de todos os valores do eixo y em que a função existe.

O QUÊ ?????

Hehehe, calma, já explico.

Imaginem uma prensa “esmagando” toda função em cima do eixo [tex3]y[/tex3], como na animação abaixo:

A imagem da função será o conjunto de todos valores de [tex3]y[/tex3] que conseguirmos esmagar a função. No exemplo acima, o conjunto imagem é de 1 para cima, ou seja, é o intervalo [tex3][1,\,\infty)[/tex3].

Para calcularmos a imagem de qualquer função, temos que analisar somente duas coisas: a concavidade da parábola (sinal do coeficiente“a”) e o valor do [tex3]y_v[/tex3].

Se o coeficiente [tex3]a[/tex3] for positivo ([tex3]a>0[/tex3]) a concavidade é para cima, então a imagem começa em [tex3]y_v[/tex3] e vai até “mais” infinito [tex3][y_v,\,+\infty)[/tex3].

Se o coeficiente [tex3]a[/tex3] for negativo ([tex3]a<0[/tex3]) a concavidade é para baixo, então a imagem começa em “menos” infinito e vai até o [tex3]y_v[/tex3], ou seja, [tex3](-\infty,\,y_v][/tex3].

Veja os dois exemplos abaixo:

[tex3]\boxed{\boxed{f(x)=x^2-15x+56}}[/tex3]

[tex3]\boxed{a>0}[/tex3] e [tex3]y_v=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-\(15^2-4\cdot 1\cdot 56\)}{4\cdot 1}=\frac{-(225-224)}{4}=-\frac{1}{4}[/tex3].

Portanto, o conjunto imagem desta função é o intervalo: [tex3]\left[-\frac{1}{4},\,+\infty\right)[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{f(x)=-2x^2+12x-16}}[/tex3]

[tex3]\boxed{a<0}[/tex3] e [tex3]y_v=\frac{-\(12^2-4\cdot(-2)\cdot(-16)\)}{2\cdot(-2)}=\frac{-(144-128)}{-4}=4[/tex3]. Portanto, o conjunto imagem desta função é o intervalo: [tex3](-\infty, +4][/tex3]

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