Em alguns exercícios é pedido que se ache o valor da SOMA ou PRODUTO das raízes de uma função do segundo grau.
Uma maneira seria aplicar Bhaskara, achar as duas e somá-las ou multiplicá-las, mas existe um método mais rápido. Veja só!
Vamos usar uma função genérica do segundo grau, que tenha raízes “r1” e “r2”.
Usando seus fatores, ficamos com:
Efetuando as multiplicações, temos:
[tex3]f(x)=a\cdot(x^2-r_2x-r_1x+r_1r_2)[/tex3]
Nos termos que possuem “x” podemos colocá-lo em evidência:
[tex3]f(x)=a\cdot\left[x^2-(r_2+r_1)x+r_1r_2\right][/tex3]
Agora, terminando de efetuar as multiplicações, ficamos com:
[tex3]f(x)=a\cdot+x^2-a\cdot(r_2+r_1)x+a\cdot+r_1r_2[/tex3]
Verifique agora os coeficientes desta função:
[tex3]b=-a\cdot(r_2+r_1)[/tex3]
[tex3]c=a\cdot+r_1\cdot+r_2[/tex3]
O coeficiente “b” nada mais é do que a SOMA DAS raízes (r1+r2), multiplicado por “-a”. Então, para a soma de raízes (S), podemos utilizar a fórmula:
Olhando para o coeficiente “c”, vemos também que ele é o produto das raízes (r1.r2) multiplicado por “a”. Portanto, também para o produto, usamos uma fórmula:
Exemplos:
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f(x) = x2 – x – 2 |
Soma=-(-1)/1 = 1 Obs.: Não rateie no sinal de“b”!
Produto = -2/1 = -2 |
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f(x) = 2x2 – 4x – 16 |
Soma = -(-4)/2 = 2
Produto = -16/2 = -8 |
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f(x) = 2x2 + 8x |
Soma = -(8)/2 = -4
Produto = 0/2 = 0 |
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f(x) = 4x2 – 24x + 36 |
Soma = -(-24)/4 = 6
Produto = 36/4 = 9 |
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f(x) = x2 – 25 |
Soma = -(0)/1 = 0
Produto = (-25)/1 |