07 – Fatoração das Funções do 2º Grau

Primeiro devemos ter em mente: o que é “FATOR”?

Se você não se lembra lá do primeiro grau, fator é cada parte de uma multiplicação!! Veja a imagem abaixo:

fator.gif (1575 bytes)

Então, o que devemos fazer em uma “fatoração de uma função quadrática” é achar quais os fatores desta função, ou seja, achar alguma “conta de multiplicação” que resulte na função desejada.

Veja o exemplo abaixo:

A função fatorada fica , então seus fatores são [tex3](x-5)[/tex3] e [tex3](x-2)[/tex3].

Para verificar se está correto, vamos efetuar a multiplicação:

[tex3]=x^2-2x-5x+10[/tex3]

[tex3]x^2-7x+10[/tex3]

Veja que, ao efetuarmos a multiplicação, voltamos à função inicial.

Agora, como devemos fazer para achar estes fatores?

A regra prática diz o seguinte: sendo “r1” e “r2” as raízes da função que queremos fatorar, simplesmente colocamos na fórmula:

[tex3]\Large+a\cdot(x-r_1)\cdot(x-r_2)[/tex3]

Onde “a” é o coeficiente de x2 na lei da função, e “r1 e “r2 são as raízes da função. Vejamos uns exemplos:

f(x)= 2x2 – 6x – 20

Aplicando Bhaskara achamos as raízes 5 e -2, e o valor de “a” é 2 (a=2). Então, fatorando esta função, temos:

[tex3]2\cdot(x-5)\cdot(x+2)[/tex3]

Atenção para os sinais! Como a fórmula é [tex3]a\cdot(x-r_1)\cdot(x-r_2)[/tex3], então o MENOS da fórmula com o MENOS da raiz fica MAIS.

f(x) = 3x2 + 24x + 36

raízes são -6 e -2, e a=3. Portanto, a fatoração desta função fica:

[tex3]3\cdot(x+6)\cdot(x+2)[/tex3]

f(x) = x2 – 4

raízes são 2 e -2, e a=1

Fatoração: [tex3](x-2)\cdot(x+2)[/tex3]

f(x) = x2 + 12x

raízes: 0 e -12, a=1

Fatoração:[tex3](x-0)\cdot(x+12)=x\cdot(x+12)[/tex3]

f(x) = 4x2 – 12x + 9

raízes: [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] e [tex3]\frac{3}{2}[/tex3], a=4

Fatoração: [tex3]4\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)[/tex3] ou [tex3]4\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2[/tex3]

Como já vimos anteriormente, uma função quadrática sempre terá duas raízes, portanto sempre terá dois fatores (mais o “a”, que pode ser 1, mas nunca 0).

Fatorando uma função, podemos ver com mais clareza o porquê das raízes serem os “zeros” das funções.

Veja nesta função fatorada: f(x)=(x-2)(x+2). Os “zeros” (ou raízes da função) são 2 e -2, pois se colocarmos 2 no lugar de “x” no primeiro fator, este fator será 2-2, que é zero, e qualquer coisa “vezes” zero resulta em zero.

A função toda é zerada, e acontece a mesma coisa se colocarmos -2 no segundo fator.


Este tipo de situação pode ser pedido ao contrário também. Ou seja, ao invés de pedir para fatorar uma função, pode ser pedido qual a função que possua determinada raiz.

Veja os dois exemplos abaixo:

Qual a função que possui apenas 3 e -4 como raízes?

– Devemos utilizar diretamente a fórmula da fatoração [tex3]a\cdot(x-r_1)\cdot(x-r_2)[/tex3], efetuamos a multiplicação e está pronto.

Como não é pedido um valor específico para “a”, podemos utilizar a=1.

[tex3](x-3)\cdot(x+4)=x^2+4x-3x-12[/tex3]

[tex3]f(x)=x^2+x-12[/tex3]

Esta é a função pedida.


Qual a função que possui possui as raízes -4 e -2 e passa pelo ponto (2, 48)?

Usando a fatoração temos: [tex3]f(x)=a\cdot(x+4)\cdot(x+2)[/tex3]

Agora devemos encontrar o valor de [tex3]a[/tex3], para isso utilizaremos o ponto dado no enunciado.

Se esta função passa pelo ponto [tex3](2,\,48)[/tex3], então se substituírmos [tex3]x=2[/tex3] e [tex3]y=48[/tex3], teremos uma igualdade (lembrando que [tex3]y[/tex3] é a mesma coisa que [tex3]f(x)[/tex3]).

[tex3]48=a\cdot(2+4)\cdot(2+2)[/tex3]

[tex3]48=a\cdot+6\cdot+4[/tex3]

[tex3]48=a\cdot+24[/tex3]

[tex3]a=2[/tex3]

Portanto, a função pedida é: [tex3]f(x)=2\cdot(x+4)\cdot(x+2)[/tex3]