Veja aqui alguns exercícios resolvidos de equação do segundo grau. A solução está logo abaixo da página. Mas, tente resolver sozinho primeiro! 🙂
1) A representação cartesiana da função [tex3]y=ax^2+bx+c[/tex3] é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:
a) [tex3]a<0,\,\,b<0\text{ e }c>0[/tex3]
b) [tex3]a>0,\,\,b>0\text{ e }c<0[/tex3]
c) [tex3]a>0,\,\,b>0\text{ e }c>0[/tex3]
d) [tex3]a<0,\,\,b>0\text{ e }c<0[/tex3]
e) [tex3]a<0,\,\,b>0\text{ e }c>0[/tex3]
2) Qual a função que representa o gráfico seguinte?
a) [tex3]y=2x^2+3x-9[/tex3]
b) [tex3]y=-2x^2+3x-9[/tex3]
c) [tex3]y=2x^2-3x-9[/tex3]
d) [tex3]y=-2x^2-3x-9[/tex3]
e) [tex3]y=2x^2+3x+9[/tex3]
3) O valor mínimo do polinômio [tex3]y=x^2+bx+c[/tex3], cujo gráfico é mostrado na figura, é:
a) -1
b) -2
c) -9/4
d) -9/2
e) -3/2
4) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade [tex3]x^2+1>2x[/tex3] são os números [tex3]x[/tex3], tais que
a) [tex3]x\in\Re[/tex3]
b) [tex3]x\ge 1[/tex3]
c) [tex3]x>1[/tex3]
d) [tex3]x\ne1[/tex3]
e) [tex3]x<1[/tex3]
5) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação [tex3]y=-40x^2+200x[/tex3]. Onde [tex3]y[/tex3] é a altura, em metros, atingida pelo projétil [tex3]x[/tex3] segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a:
a) 6,25 m, 5s
b) 250 m, 0 s
c) 250 m, 5s
d) 250 m, 200 s
e) 10.000 m , 5s
6) (UFRGS) Considere a função [tex3]f:\,\Re\rightarrow\Re[/tex3], definida por [tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3], com [tex3]a<0[/tex3] e [tex3]c>0[/tex3]. O gráfico de [tex3]f[/tex3]:
a) não intercepta o eixo das abscissas
b) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente
c) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto
d) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos.
e) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.
7) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação [tex3]2x^2-7x+3=0[/tex3]
a) [tex3]\frac{7}{3}[/tex3]
b) [tex3]\frac{7}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{3}{7}[/tex3]
e) [tex3]\frac{2}{7}[/tex3]
8) A solução de [tex3]x-x^2>0[/tex3] é:
a) [tex3](0,\,1)[/tex3]
b) [tex3](-\infty,\,0)\cup(1,\,+\infty)[/tex3]
c) [tex3](-1,\,1)[/tex3]
d) [tex3](-\infty,\,-1)\cup(1,+\infty)[/tex3]
e) [tex3]\mathbb{R}[/tex3]
9) (UFRGS) Para que a parábola da equação [tex3]y=ax^2+bx-1[/tex3] contenha os pontos [tex3](-2;\,1)[/tex3] e [tex3](3;\,1)[/tex3], os valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são, respectivamente:
a) 3 e -3
b) 1/3 e -1/3
c) 3 e -1/3
d) 1/3 e -3
e) 1 e 1/3
10) O vértice da parábola que corresponde à função [tex3]y=(x-2)^2+2[/tex3] é
a) (-2, -2)
b) (-2, 0)
c) (-2, 2)
d) (2, -2)
e) (2, 2)
11) A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola.
Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer dois consecutivos é 25m. Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento central CG é 20m, a altura de DH é:
a) 17,5m
b) 15,0m
c) 12,5m
d) 10,0m
e) 7,5m
| GABARITO | |||
| 01 – E | 02 – C | 03 – C | 04 – D |
| 05 – C | 06 – B | 07 – A | 08 – A |
| 09 – B | 10 – E | 11 – B | |
Exercícios Resolvidos de Equação do Segundo Grau
1) A representação cartesiana da função [tex3]y=ax^2+bx+c[/tex3] é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:
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Esta questão é apenas sobre análise de coeficientes da equação do segundo grau: – a concavidade da parábola está para baixo, portanto, o coeficiente a é negativo (a<0); – a parábola corta o eixo Y (eixo vertical) em um ponto acima da origem, logo c é positivo (c>0); – após o ponto de corte do eixo Y, a parábola sobe, então b é positivo (b>0); Resposta certa letra E. |
2) Qual a função que representa o gráfico seguinte?
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– no gráfico é indicado quais são as raízes da função (-3/2 e 3). Então, sabemos quais são os fatores da equação [tex3]\(x+\frac{3}{2}\)[/tex3] e [tex3](x-3)[/tex3]. Agora, efetuando a multiplicação entre estes dois fatores, achamos uma suposta equação para este gráfico: [tex3]\(x+\frac{3}{2}\)\times(x-3)[/tex3] [tex3]x^2-\frac{6x}{2}+\frac{3x}{2}-\frac{9}{2}[/tex3] [tex3]x^2-\frac{3x}{2}-\frac{9}{2}[/tex3] – mas esta é somente uma suposta equação, pois veja quanto vale seu coeficiente c. Ele vale -9/2, e no gráfico mostra que ele deve valer “-9”. Então, o que devemos fazer para -9/2 virar -9? Isso mesmo, multiplicar TUDO por 2. Daí teremos a equação certa. [tex3]2x^2-3x-9[/tex3] Letra “C” |
3) O valor mínimo do polinômio [tex3]y=x^2+bx+c[/tex3], cujo gráfico é mostrado na figura, é:
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– este exercício envolve dois tópicos de equações quadráticas: calcular a equação e calcular o vértice; – é dada uma equação incompleta, sendo indicado somente o valor de “a” (a=1). Porém, no gráfico podemos descobrir as raízes e achar os fatores da função. As raízes são 0 e 3, portanto os fatores são [tex3](x-0)[/tex3] e [tex3](x-3)[/tex3]. Vamos multiplicar os fatores: [tex3](x-0)\times(x-3)[/tex3] [tex3]x(x-3)[/tex3] [tex3]x^2-3x[/tex3] – agora sabemos qual é a equação, e é pedido o valor mínimo da função ([tex3]y_v[/tex3]). Colocando na fórmula: [tex3]y_v=\frac{-\Delta}{4a}=\boxed{\boxed{\frac{-9}{4}}}[/tex3] Resposta certa letra C. |
4) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade [tex3]x^2+1>2x[/tex3] são os números [tex3]x[/tex3], tais que:
| – esta é uma questão de análise de sinal, pois a equação dada pode ser escrita da seguinte forma:
[tex3]x^2+1>2x\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,x^2-2x+1>0[/tex3] – agora, o que está sendo perguntado é: quando a equação [tex3]x^2-2x+1[/tex3] é positiva? Vamos fazer a análise de sinal, para isso devemos calcular as raízes. Aplicando Bhaskara, achamos 1 e 1 (raízes idênticas). Portanto, o esboço do gráfico é assim:
– o exercício pede quando que ela é positiva. Veja que ela está toda em cima da origem. Mas, atenção ao ponto [tex3]x=1[/tex3]. Ela vale ZERO, e zero não é positivo nem negativo, portanto ela será positiva em todos os números, menos no 1. Resposta certa letra D. |
5) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação [tex3]y=-40x^2+200x[/tex3]. Onde [tex3]y[/tex3] é a altura, em metros, atingida pelo projétil [tex3]x[/tex3] segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a
| – primeiro devemos fazer o esboço do gráfico. Veja como é:
– sabendo que o eixo X representa o tempo e o eixo Y representa a altura, então calculando o [tex3]y_v[/tex3] teremos a altura máxima atingida, e a outra raiz será o tempo que o projétil permanece no ar. [tex3]y_v=\frac{-\(200^2-4\times(-40)\times 0\)}{4\times(-40)}[/tex3] [tex3]y_v=\frac{-40000}{-160}=250[/tex3] Resposta certa letra C. |
6) (UFRGS) Considere a função [tex3]f:\,\Re\rightarrow\Re[/tex3], definida por [tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3], com [tex3]a<0[/tex3] e [tex3]c>0[/tex3]. O gráfico de [tex3]f[/tex3]:
| – é dito que o coeficiente a é menor que zero, e o c é maior que zero. Portanto, deve ter concavidade para baixo (boca triste) e cortar o eixo Y em um ponto acima da origem. Podemos fazer um esboço gráfico da seguinte maneira:
– este é um gráfico que poderia ser da função dada. A única alternativa que bate com este gráfico é a letra “B”. P.S.: Eixo das abscissas é o eixo X e eixo das ordenadas é o eixo Y. |
7) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação [tex3]2x^2-7x+3=0[/tex3]
| – a soma vale 7/2 e o produto vale 3/2, portanto a razão entre a soma e o produto vale:
[tex3]\dfrac{\frac{7}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{7}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{7}{3}[/tex3] Resposta certa letra A. Obs.: Sempre que for pedido razão de dois termos, o que vai em cima da divisão é o que foi dito primeiro, portanto este nosso enunciado está pedindo a “soma” dividida pelo “produto”. |
8) A solução de [tex3]x-x^2>0[/tex3] é:
| – aqui é outro exercício de análise de sinal. A equação dada só está um pouco “bagunçada”. Vamos arrumá-la:
[tex3]x-x^2>0[/tex3] [tex3]-x^2+x>0[/tex3] – agora, o que é pedido é: quando a função é positiva? – vamos fazer a análise dos sinais, primeiro calculando as raízes, que são 0 e 1. Portanto o esboço do gráfico é o seguinte:
– assim, ela é positiva no intervalo de zero até um (0,1). Resposta certa letra A. |
9) (UFRGS) Para que a parábola da equação [tex3]y=ax^2+bx-1[/tex3] contenha os pontos [tex3](-2;\,1)[/tex3] e [tex3](3;\,1)[/tex3], os valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são, respectivamente:
| – os pontos dados são apenas coordenadas [tex3](x,\,y)[/tex3]. Assim, o que devemos fazer é substituir cada uma das coordenadas dos pontos dados na equação dada:
– Substituindo o ponto [tex3](-2,\,1)[/tex3], ou seja, [tex3]x=-2[/tex3] e [tex3]y=1[/tex3]: [tex3]1=a(-2)^2+b(-2)-1[/tex3] [tex3]1=4a-2b-1[/tex3] [tex3]\boxed{4a-2b=2}[/tex3] – Substituindo [tex3](3;\,1)[/tex3], que é [tex3]x=3[/tex3] e [tex3]y=1[/tex3] [tex3]1=a(3)^2+b(3)-1[/tex3] [tex3]1=9a+3b-1[/tex3] [tex3]\boxed{9a+3b=2}[/tex3] – as duas equações dentro de retângulos acima formam um sistema de equações: [tex3]\begin{cases}4a-2b=2\\9a+3b=2\end{cases}[/tex3] – vamos isolar o valor a na primeira equação: [tex3]4a=2b+2[/tex3] [tex3]a=\frac{2b+2}{4}[/tex3] [tex3]\boxed{a=\frac{b+1}{2}}[/tex3] – agora, substituindo o valor de a na segunda equação: [tex3]9\cdot\(\frac{b+1}{2}\)+3b=2[/tex3] [tex3]\frac{9b+a}{2}+3b=2[/tex3] [tex3]9b+9+6b=4[/tex3] [tex3]15b=-5[/tex3] [tex3]b=-\frac{5}{15}=-\frac{1}{3}[/tex3] – voltamos para a primeira equação e substituímos o valor de b para achar o valor de a: [tex3]a=\frac{-\frac{1}{3}+1}{2}=\frac{\frac{-1+3}{3}}{2}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}[/tex3] [tex3]\boxed{\boxed{a=\frac{1}{3}}}[/tex3] Resposta certa letra B. |
10) O vértice da parábola que corresponde à função [tex3]y=(x-2)^2+2[/tex3] é
| – a única dificuldade deste exercício é achar a função escrita de um modo mais organizado. Vamos calcular o parênteses, que está ao quadrado:
[tex3](x-2)^2+2=x^2-4x+4+2[/tex3] [tex3]x^2-4x+6[/tex3] – agora é só calcular o valor das coordenadas do vértice, sabendo que [tex3]a=1[/tex3], [tex3]b=-4[/tex3] e [tex3]c=6[/tex3]. [tex3]x_v=\frac{-(-4)}{2}=2[/tex3] [tex3]y_v=\frac{-[(-4)^2-4\times1\times6]}{4}[/tex3] [tex3]y_v=\frac{-(16-24)}{4}=2[/tex3] Resposta certa letra E. |
11) A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola.
Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer dois consecutivos é 25m. Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento central CG é 20m, a altura de DH é:
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