06 – Análise do Discriminante

Para aprender a análise do discriminante, vamos começar definindo o que é o discriminante de uma função do segundo grau.

A fórmula de Báscara dada na lição anterior é a seguinte:

[tex3]\Large x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex3]

Esta fórmula está correta!

O que iremos mudar é a parte de dentro da raiz (radicando), que é chamada de “DISCRIMINANTE” e representada pela letra grega [tex3]\Delta[/tex3] (delta).

Portanto, a fórmula “super correta” de Báscara é, na verdade:

[tex3]\Large\boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}[/tex3]
onde [tex3]\Delta=b^2-4ac[/tex3]

[tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] são os coeficientes da nossa função quadrática.

Neste capítulo vamos estudar o papel desempenhado por esse “delta” no gráfico de nossa função.

Na fórmula de Báscara, o [tex3]\Delta[/tex3] está dentro de uma raiz (é um “radicando”) e logo após um sinal [tex3]\pm[/tex3].

Este fato de somar e diminuir no meio da fórmula de Báscara é o que diferencia uma raiz da outra, pois “mais” [tex3]\Delta[/tex3] é diferente de “menos” [tex3]\Delta[/tex3].

Raiz 1: [tex3]x=\frac{-b{\color{red}+}\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex3]

Raiz 2: [tex3]x=\frac{-b{\color{red}-}\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex3]

E se este delta for igual à zero ([tex3]\Delta= 0[/tex3]), não teremos diferença entre as raízes. Como uma função quadrática sempre tem que ter 2 raízes, dizemos, então, que a função com [tex3]\Delta=0[/tex3] tem as duas raízes idênticas.

E, se [tex3]\Delta\ne 0[/tex3], então, a função tem 2 raízes distintas.

[tex3]\boxed{\Delta=0}[/tex3] Raízes reais e idênticas (iguais);

[tex3]\boxed{\Delta\ne 0}[/tex3] Raízes distintas (diferentes).

Agora, quando [tex3]\Delta\ne 0[/tex3] (raízes distintas), teremos duas situações:

1) quando [tex3]\Delta[/tex3] for positivo ([tex3]\Delta>0[/tex3]) e
2) quando [tex3]\Delta[/tex3] for negativo ([tex3]\Delta<0[/tex3]).

Como o [tex3]\Delta[/tex3] é um radicando (está dentro de uma raiz quadrada):

1) Se ele for negativo ([tex3]\Delta<0[/tex3]), as raízes serão números complexos não reais, pois raiz de número negativo não é real.
2) Se ele for positivo ([tex3]\Delta>0[/tex3]), então as raízes serão números reais.

Veja o quadro de referência rápida abaixo:

[tex3]\boxed{\boxed{\boxed{\Delta=0}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\text{raízes reais e idênticas (iguais);}\\\boxed{\Delta\ne 0}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\text{raízes distintas (diferentes);}\\\boxed{\Delta>0}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\text{raízes REAIS;}\\\boxed{\Delta<0}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\text{raízes complexas NÃO REAIS.}}}[/tex3]

Como sabemos, raiz de uma função é o ponto em que o gráfico da função “corta” o eixo [tex3]x[/tex3]. Assim, podemos analisar o comportamento do gráfico para cada um dos tipos de discriminante.


Discriminante Positivo ([tex3]\Delta > 0[/tex3])

Com o [tex3]\Delta > 0[/tex3], as raízes são REAIS.

Portanto, existem 2 pontos em que o gráfico “corta” o eixo [tex3]x[/tex3].

O gráfico da parábola, para o caso de[tex3]\Delta > 0[/tex3], pode ser destes 2 tipos:

Parábola com discriminante positivo e concavidade para cima (a&gt;0)
Parábola com discriminante positivo e concavidade para cima (a>0)
Parábola com discriminante positivo e concavidade para baixo (a&lt;0)
Parábola com discriminante positivo e concavidade para baixo (a<0)

Note que, em cada um dos 2 exemplos acima, existem 2 “pontos de corte”.


Discriminante Nulo ([tex3]\Delta = 0[/tex3])

Com o [tex3]\Delta=0[/tex3], nossa função do segundo grau terá 2 raízes idênticas.

No gráfico, a parábola irá apenas “tocar” no eixo [tex3]x,[/tex3]. Não irá atravessar para o outro lado.

Veja os desenhos abaixo:

Parábola com discriminante nulo e concavidade para cima (a>0)
Parábola com discriminante nulo e concavidade para cima (a>0)
Parábola com discriminante nulo e concavidade para baixo (a<0)
Parábola com discriminante nulo e concavidade para baixo (a<0)

Discriminante Negativo [tex3]\Delta < 0[/tex3]

Com [tex3]\Delta<0[/tex3], as raízes não serão reais, serão COMPLEXAS!

Portanto, não irão tocar ou cortar o eixo [tex3]x[/tex3]. E, o gráfico poderá ser:

Discriminante negativo e concavidade para cima (a>0)
Discriminante negativo e concavidade para cima (a>0)
Discriminante negativo e concavidade para baixo (a<0)
Discriminante negativo e concavidade para baixo (a<0)