06 – Inequações Exponenciais

Antes de mais nada, vamos interpretar o nome “Inequações Exponenciais”.

É uma inequação porque não é uma equação (hehehe, até parece brincadeira), ou seja, pois na expressão não há uma IGUALDADE ou um sinal de igual (=).

É “Exponencial” pois em um dos termos da inequação há um expoente com uma incógnita, ou também chamada, variável (normalmente é “x”).

Veja uns exemplos de inequações exponenciais:

2^3x > 4^x             5^4x2 < 25^3x            

Note que nestas expressões não aparece o sinal de igualdade (=), e sim outros sinais. São eles:

Símbolo	Significado
>	maior
<	menor
≥	maior ou igual
≤	menor ou igual

Veja também, algumas frases matemática que utilizam estes simbolos:

Frase	Como se lê	V/F
2 < 3	Dois é menor que três.	VERDADEIRO
43 > 40	Quarenta e três é maior que quarenta.	VERDADEIRO
23 ≥ 100	Vinte e três é maior ou igual que cem.	FALSO
	Dois terços é menor ou igual a quatro terços.	VERDADEIRO
5 ≥ 5	Cinco maior ou igual a cinco.	VERDADEIRO
OBS.: Na inequação acima, como o sinal significa “maior OU igual” pode ser ou maior ou igual. No exemplo é igual, por isso é verdadeiro.

Devemos lembrar que, em uma inequação, quando trocarmos o lado direito da desigualdade pelo lado esquerdo da mesma, o sinal deve também inverter. Ou seja:

25 < 50	Agora vamos colocar o 25 para direita e o 50 para esquerda.
50 > 25	Note que o sinal teve que obrigatoriamente inverter. Esta regra também vale para inequações exponenciais.
23x ≤ 32x	Ao inverter os lados:
32x ≥ 23x	Devemos inverter o sinal de desigualdade, qualquer que seja ele.

A resolução de INEquações exponenciais inicia com o mesmo objetivo de uma Equação exponencial: IGUALAR AS BASES. Podemos dividir as inequações em dois tipos. O 1^o tipo que iremos ver, não tem diferença nenhuma no modo de resolver em relação as equações. Veja um exemplo do 1^o tipo resolvido abaixo:

2x < 83	Como em uma equação, vamos fatorar ambos os lados:
2x < (23)3	Aplicando as propriedades de potenciação
2x < 29	Pronto, com as bases iguais podemos cortá-las e trabalhar somente com os expoentes.
x < 9	Gran finale!! Esta é a resposta

Se você estudou bem as equações, não terá dificuldades em inequações.

O 2^o tipo tem uma pequena diferença, mas nada que dê para assustar. Faz de conta que não sabemos que existe tal diferença e vamos resolver o problema abaixo:

	Bom, como o objetivo é igualar as bases, já conseguimos. O exercício nos entregou quase pronto. Agora é só cortar as bases e trabalhar com os expoentes.
4x + 5 ≥ 2x + 3	Vamos resolver
4x – 2x ≥ 3 – 5 2x ≥ -2 x ≥ -1	Esta seria a resposta que nós acharíamos, se não soubéssemos o segundo tipo. Vamos verificar se dá certo?
Se esta resposta for a certa, qualquer valor maior do que -1 (ou o próprio -1) que substituirmos na inequação inicial deveremos achar uma frase verdadeira. Vamos testar com o valor 0.
	Note que não chegamos em uma verdade pois não é maior nem igual a .

Isto sempre irá acontecer quando tivermos como base um número que seja menor que 1 e maior que 0 (0<base<1). Repare que esta é a mesma restrição para se ter uma função exponencial DECRESCENTE. Veja o gráfico abaixo de uma função exponencial decrescente:

Note que se aumentarmos o valor de x, iremos diminuir o valor de y (x2>x1 <=> ax2<ax1). Isto nos indica que quando “cortarmos” as bases de uma inequação com 0<base<1 devemos inverter a desigualdade.

Veja o exemplo acima resolvido corretamente:

	Já igualadas as bases, vamos cortá-las. Mas com o cuidade de inverter a desigualdade.
4x + 5 ≤ 2x + 3	Agora é só resolver.
4x – 2x ≤ 3 – 5 2x ≤ -2 x ≤ -1	Agora sim esta é a resposta certa!

 

OBSERVAÇÃO

Sempre que tivermos uma base menor que 1 e maior que 0(0<base<1) devemos INVERTER o sinal da desigualdade ao “cortar” as bases da inequação.

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