07 – Exercícios Equações Exponenciais

1) (PUCRS) Se [tex3]2^{2^{3^{x}}}[/tex3], então [tex3]x[/tex3] pertence ao intervalo

(A) [0; 1)
(B) (0; 2)
(C) (1; 2)
(D) (1; 3)
(E) (2; 3)


2) (UNISINOS) Se [tex3]\frac{5,7}{0,003}=0,19\cdot 10^x[/tex3], então [tex3]x[/tex3] é:

(A) -1
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 8


3) (UFRGS) A solução da inequação [tex3]0,5^{(1-x)}>1[/tex3] é o conjunto

(A) [tex3]\{x \in \Re\,|\,x > 1\}[/tex3]
(B) [tex3]\{x \in \Re\,|\,x < 1\}[/tex3]
(C) [tex3]\{x \in \Re\,|\,x > 0\}[/tex3]
(D) [tex3]\{x \in \Re\,|\,x < 0\}[/tex3]
(E) [tex3]\Re[/tex3]


4) (UNISINOS) Os valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]x[/tex3] para os quais a igualdade [tex3]a^{(x-3)^0}=3^2[/tex3] é verdadeira

(A) [tex3]a=1[/tex3] e [tex3]x=9[/tex3]
(B) [tex3]a=3[/tex3] e [tex3]x=5[/tex3]
(C) para todo valor de [tex3]x\ne 3[/tex3] e [tex3]a=9[/tex3]
(D) [tex3]a=6[/tex3] e [tex3]x=5[/tex3]
(E) para qualquer valor de [tex3]x\ne 3[/tex3] e [tex3]a=3[/tex3]


5) (CAJU) A soma dos valores das soluções da equação [tex3]-\frac{6^{2x}}{7}+6^{x+1}=\frac{6^3}{7}[/tex3] é:

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 36
(E) 42


6) (CAJU) O produto dos valores das soluções da equação [tex3]7^{x-1}-50=-7^{3-x}[/tex3] é:

(A) 3
(B) 4
(C) 2401
(D) 350
(E) 1


7) (IPA/IMEC) Se [tex3]2^x+2^{-x}=10[/tex3] então [tex3]4^x+4^{-x}[/tex3] vale

(A) 40
(B) 50
(C) 75
(D) 98
(E) 100


8) (MAUÁ) A solução da equação [tex3]\frac{1}{1+\frac{1}{8^x-1}}=-7[/tex3] é:

(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1


9) (CAJU) O gráfico que melhor representa a função [tex3]f(x)=\pi^x[/tex3] é:

   (A) exercicios5a.gif (1277 bytes)    (B) exercicios5b.gif (1268 bytes)
   (C) exercicios5c.gif (1324 bytes)    (D) exercicios5e.gif (1302 bytes)
   (E) exercicios5e.gif (1302 bytes)

GABARITO
01-B 04-C 07-D
02-C 05-C 08-E
03-A 06-A 09-D

RESOLUÇÃO

1) (PUCRS) Se [tex3]2^{2^{3^{x}}}[/tex3], então [tex3]x[/tex3] pertence ao intervalo

– Neste exercícios podemos dizer que a potência da esquerda tem “4 níveis”. Temos que ir “cortando” um a um. Vamos igualar a primeira base:

[tex3]2^{2^{3^{x}}}=256[/tex3]

[tex3]2^{2^{3^{x}}}=2^8[/tex3]

Agora podemos cortar a base 2.
[tex3]{2^{3^{x}}}=8[/tex3]

[tex3]{2^{3^{x}}}=2^3[/tex3]

Igualamos novamente, podemos cortar a nova base 2.
[tex3]3^{x}=3[/tex3] Igualadas novamente, temos o valor de “x”.
[tex3]x=1[/tex3] O único intervalo que contém o 1 é o da letra “C”. Note que nas respostas “A”, “C” e “D” o número 1 aparece “aberto” (com parênteses) portanto não faz parte do conjunto.

Resposta certa, letra C

2) (UNISINOS) Se [tex3]\frac{5,7}{0,003}=0,19\cdot 10^x[/tex3], então [tex3]x[/tex3] é:

– Primeiro vamos transformar todos os números decimais em frações (fica mais fácil):

[tex3]\frac{\frac{57}{10}}{\frac{3}{1000}}=\frac{19}{100}\cdot 10^x[/tex3]

– Agora é só calcular:

[tex3]\frac{57}{10}\cdot\frac{1000}{3}=\frac{19}{100}\cdot 10^x[/tex3]

[tex3]19\cdot 100=19\cdot\frac{10^x}{100}[/tex3]

[tex3]100\cdot 100=10^x[/tex3]

[tex3]10000=10^x[/tex3]

[tex3]10^4=10^x[/tex3]

[tex3]x=4[/tex3]

Resposta certa, letra “C”.


3) (UFRGS) A solução da inequação [tex3](0,5)^{(1-x)}\gt 1[/tex3] é o conjunto

– O lado direito da inequação podemos trocar por [tex3](0,5)^0[/tex3] e já temos as bases igualadas.

[tex3](0,5)^{(1-x)}\gt (0,5)^0[/tex3]

Agora podemos cortar as bases.

Mas, atenção: quando temos a base menor do que 1 e maior que zero (0 < b < 1) devemos inverter a desigualdade ao cortar as bases.

(1-x) < 0
1-x < 0

-x < -1 Vamos multiplicar ambos os lados por -1 (lembre-se que quando fazemos isso devemos trocar novamente a desigualdade)
x > 1    Resposta certa letra “A”.


4) (UNISINOS) Os valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]x[/tex3] para os quais a igualdade [tex3]a^{(x-3)^0}=3^2[/tex3] é verdadeira

– A primeira coisa que devemos olhar é que o “a” está elevado na potência (x-3)0 que vale 1, mas nem sempre. Não podemos ter 00 , portanto xdiferente.gif (832 bytes)3. Agora fica fácil:

[tex3]a^1=3^2[/tex3]

[tex3]a=9[/tex3]

Resposta certa letra “C”.


5) (CAJU) A soma dos valores das soluções da equação [tex3]-\frac{6^{2x}}{7}+6^{x+1}=\frac{6^3}{7}[/tex3] é:

– Vamos utilizar as propriedades das potências e também tirar o MMC:

[tex3]-\frac{6^{2x}}{7}+6^x\cdot 6=\frac{216}{7}[/tex3]

[tex3]\frac{-6^{2x}+42\cdot 6^x=216}{7}[/tex3]

– Agora cortando o denominador e igualando à zero:

[tex3]-6^{2x}+42\cdot 6^x-216=0[/tex3]

[tex3]-(6^x)^2+42\cdot 6^x-216=0[/tex3]

– Neste momento devemos utilizar a técnica de troca de base. Vamos arbitrar [tex3]6^x=y[/tex3] e teremos:

[tex3]-y^2+42y-216=0[/tex3]

Agora vamos resolver este equação do segundo grau com a fórmula de Bhaskara.

[tex3]\frac{-42\pm\sqrt{42^2-4\cdot(-1)\cdot(-216)}}{2\cdot(-1)}[/tex3]

[tex3]\frac{-42\pm\sqrt{1764-864}}{-2}=\frac{-42\pm\sqrt{900}}{-2}[/tex3]

[tex3]\frac{-42\pm 30}{-2}=\begin{cases}y’=6\\y ”=36\end{cases}[/tex3]

– Esta não é a resposta, são os valores de [tex3]y[/tex3]. Agora devemos substituir na fórmula criada por nós: [tex3]6^x=y[/tex3].

[tex3]6^x = 6[/tex3]

[tex3]x = 1[/tex3]

[tex3]6^x = 36[/tex3]

[tex3]6^x = 6^2[/tex3]

[tex3]x = 2[/tex3]

– Como o exercício pede a soma dos valores: [tex3]2+1=3[/tex3]

Resposta certa, letra “C”.


6) (CAJU) O produto dos valores das soluções da equação [tex3]7^{x-1}-50=-7^{3-x}[/tex3] é:

– Vamos primeiro utilizar as propriedades de potenciação e colocar esta equação em uma forma mais “amigável”:

[tex3]\frac{7^x}{7}-50=-\frac{7^3}{7^x}[/tex3]

– Agora tirando o MMC:

[tex3]\frac{7^{2x}-50\cdot7\cdot 7^x=-7^3\cdot 7}{7\cdot 7^x}[/tex3]

– Pronto, podemos cortar o denominador e temos uma equação um tanto quanto mais amigável! Agora vamos arrumá-la para trocarmos a variável:

[tex3]7^{2x}-350\cdot 7^x=-2401[/tex3]

[tex3](7^x)^2-350\cdot 7^x+2401=0[/tex3]

– Vamos efetuar a técnica de troca de variáveis. Dizemos [tex3]7^=y[/tex3] e temos:

[tex3]y^2-350y+2401=0[/tex3] Aplicando Bhaskara

[tex3]\frac{-(-350)\pm\sqrt{(-350)^2-4\cdot 1\cdot(2401)}}{2\cdot 1}[/tex3]

[tex3]\frac{350\pm\sqrt{122500-9604}}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{350\pm\sqrt{112896}}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{350\pm 336}{2}=\begin{cases}y’=\frac{350+336}{2}=343\\y”=\frac{350-336}{2}=7\end{cases}[/tex3]

– Novamente, estes são os valores de [tex3]y[/tex3], e não de [tex3]x[/tex3]. Para calcular os valores de [tex3]x[/tex3] temos:

[tex3]7^x=y[/tex3]
[tex3]7^x=343[/tex3]
[tex3]7^x=73[/tex3]
[tex3]x=3[/tex3]
[tex3]7^x=y[/tex3]
[tex3]7^x=7[/tex3]
[tex3]x=1[/tex3]

– Como o exercício pede o produto dos valores, [tex3]3\cdot 1=3[tex3].

Resposta certa, letra “A”.


7) (IPA/IMEC) Se [tex3]2^x+2^{-x}=10[/tex3] então [tex3]4^x+4^{-x}[/tex3] vale

– Aplicando as propriedades de potenciação, o que o exercício dá e pede é:

[tex3]2^x+\frac{1}{2^x}=10[/tex3] e pede [tex3]4^x+\frac{1}{4^x}[/tex3]

– Este problema é o tipo de exercício que se você nunca viu como se faz, nunca iria conseguir fazer. Para resolvê-lo devemos pegar a equação dada e elevar ao quadrado ambos os lados. Veja só:

[tex3]\left(2^x+\frac{1}{2^x}\right)=10^2[/tex3]

– Agora devemos efetuar ambos os lados. Não esqueça da regra para o produto notável da esquerda:

[tex3](2^x)^2+2\cdot 2^x\cdot \frac{1}{2^x}+\left(\frac{1}{2^x}\right)^2=100[/tex3]

[tex3]4^x+2\cdot 2^x\cdot\frac{1}{2^x}+\frac{1}{4^x}=100[/tex3]

[tex3]4^x+2+\frac{1}{4^x}=100[/tex3]

[tex3]4^x+\frac{1}{4^x}=98[/tex3]

Pronto, exercício resolvido.

Resposta certa letra “D”.


8) (MAUÁ) A solução da equação [tex3]\frac{1}{1+\frac{1}{8^x-1}}=-7[/tex3] é:

– Primeiro de tudo, vamos efetuar a soma de frações do denominador da esquerda da equação:

[tex3]\frac{1}{\frac{8^x-1+1}{8^x-1}}=-7[/tex3]

– Efetuando as operações:

[tex3]\frac{8^x-1}{8}=-7[/tex3]

[tex3]8^x-1=-7·8^x[/tex3]

[tex3]8^x+7·8^x=1[/tex3]

Colocando o [tex3]8^x[/tex3] em evidência

[tex3]8^x·(1+7)=1[/tex3]

[tex3]8^x·8=1[/tex3]

Multiplicação de potências de mesma base.

[tex3]8^{x+1}=1[/tex3]

Sabemos que qualquer número elevado na potência ZERO vale 1.

[tex3]8^{x+1}=8^0[/tex3]

Cortando as bases

[tex3]x+1=0[/tex3]

[tex3]x=-1[/tex3]

Resposta certa, letra “E”.


9) (CAJU) O gráfico que melhor representa a função [tex3]f(x)=\pi^x[/tex3] é:

   (A) exercicios5a.gif (1277 bytes)    (B) exercicios5b.gif (1268 bytes)
   (C) exercicios5c.gif (1324 bytes)    (D) exercicios5e.gif (1302 bytes)
   (E) exercicios5e.gif (1302 bytes)
– Como vimos no capítulo de gráficos, o gráfico de uma função exponencial depende da base.

Neste exercício a base é o número π que vale aproximadamente 3,14.

Sende este número maior do que 1, o gráfico desta função deve, obrigatoriamente, ser crescente.

Portanto, a única alternativa que se parece com o gráfico de uma exponencial crescente é a letra “D”.