02 – Exercícios de Equações Exponenciais do Tipo I

1) [tex3]\left(10^x\right)^{x-1}=\frac{1}{10^6}[/tex3] 2) [tex3]\left(4^x\right)^{x}=256[/tex3]
3) [tex3]2^{(x^2-7x+12)}=1[/tex3] 4) [tex3]2^{x+1}+2^{x-2}=\frac{9}{2}[/tex3]
5) [tex3](3^{x})^{x-4}=\frac{1}{27}[/tex3] 6) [tex3]3^{(x^2-10x+7)}=\frac{1}{9}[/tex3]
7) [tex3]\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}=16^{x+2}[/tex3]

8) Se [tex3](0,4)^{4x+1}=\sqrt[3]{\frac{5}{2}}[/tex3], então “x” vale:

(A) [tex3]-\frac{1}{6}[/tex3]
(B) [tex3]-\frac{1}{3}[/tex3]
(C) [tex3]-\frac{1}{2}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
(E) [tex3]\frac{1}{5}[/tex3]


9) (PUC-RS) A soma das raízes da equação [tex3]9\cdot{5^{x^2-2x+1}}=5625[/tex3] é:

(A) -4
(B) -2
(C) -1
(D) 2
(E) 4


10) (UFRGS) Sabendo-se que [tex3]6^{x+2}=72[/tex3], tem-se que [tex3]6^{-x}[/tex3] vale:

(A) -4
(B) -2
(C) 0
(D) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
(E) 2


11) (UFRGS) O valor de x que verifica a equação [tex3]\sqrt{4^{x+1}}=\frac{1}{16^{x+1}}[/tex3] é:

(A) -1
(B) [tex3]-\frac{1}{2}[/tex3]
(C) 0
(D) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
(E) 1


12) (UFRGS) A solução da equação [tex3]\sqrt[3]{2^{2x+5}}=(0,25)^{-2x}[/tex3] é

(A) [tex3]-2[/tex3]
(B) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
(C) [tex3]\frac{14}{15}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{15}{14}[/tex3]
(E) [tex3]2[/tex3]


13) (UFRGS) Sabendo que [tex3]4^x-4^{x-1}=24[/tex3] então [tex3]x^{\frac{1}{2}}[/tex3] vale

(A) [tex3]\frac{\sqrt+2}{2}[/tex3]

(B) [tex3]\frac{\sqrt+5}{2}[/tex3]

(C) [tex3]\sqrt+2[/tex3]

(D) [tex3]\frac{\sqrt{10}}{5}[/tex3]

(E) [tex3]\frac{\sqrt{10}}{2}[/tex3]


14) (PUCRS) A soma das raízes da equação [tex3]10^x=\frac{\sqrt[x]{1000^5}}{100}[/tex3]é:

(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2


GABARITO
01- [tex3]x\notin\Re[/tex3] 05- {3; 1} 09- D 13- E
02- ±2 06- {9; 1} 10- D 14- A
03- {4; 3} 07- -1 11- A
04- 1 08- B 12- B

RESOLUÇÃO

1) [tex3]\left(10^x\right)^{x-1}=\frac{1}{10^6}[/tex3] 2) [tex3]\left(4^x\right)^{x}=256[/tex3]
3) [tex3]2^{(x^2-7x+12)}=1[/tex3] 4) [tex3]2^{x+1}+2^{x-2}=\frac{9}{2}[/tex3]
5) [tex3](3^{x})^{x-4}=\frac{1}{27}[/tex3] 6) [tex3]3^{(x^2-10x+7)}=\frac{1}{9}[/tex3]
7) [tex3]\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}=16^{x+2}[/tex3]
 1) Aplicando as propriedades de exponencial temos:

[tex3]10^{x(x-1)}=10^{-6}[/tex3]

Agora com as bases igualadas podemos cortá-las.

[tex3]x(x-1)=-6[/tex3]

Operando

[tex3]x^2-x=-6[/tex3]

[tex3]x^2-x+6=0[/tex3]

Chegamos em uma equação do segundo grau, aplicando Bhaskara achamos os resultados

[tex3]\frac{1\pm\sqrt{-23}}{2}[/tex3]

Note que temos uma raiz quadrada de um número negativo! Isto não é um número do conjunto dos REAIS ([tex3]\Re[/tex3]), portanto a resposta é [tex3]x\notin\Re[/tex3] (x não pertence aos REAIS).


2) [tex3]4^{x^2}=256[/tex3]

[tex3]4^{x^2}=4^4[/tex3]

[tex3]x^2=4[/tex3]

[tex3]x=\pm\sqrt{4}[/tex3]

[tex3]x=\pm 2[/tex3]

3) [tex3]2^{x^2-7x+12}=1[/tex3]

[tex3]2^{x^2-7x+12}=2^0[/tex3]

[tex3]x^2-7x+12=0[/tex3]

Aplicando Báscara

[tex3]x=4[/tex3]

[tex3]x=3[/tex3]


4) [tex3]2^x\cdot 2+\frac{2^x}{2^2}=\frac{9}{2}[/tex3]

[tex3]2^x\cdot 2+\frac{2^x}{4}=\frac{9}{2}[/tex3]

Tirando MMC

[tex3]\frac{4\cdot 2^x\cdot 2+2^x=9\cdot 2}{4}[/tex3]

[tex3]8\cdot 2^x+2^x=18[/tex3]

[tex3]9\cdot 2^x=18[/tex3]

[tex3]2^x=2[/tex3]

[tex3]x=1[/tex3]


5) [tex3]3^{x(x-4)}=3^{-3}[/tex3]

[tex3]x(x-4)=-3[/tex3]

[tex3]x^2-4x=-3[/tex3]

[tex3]x^2-4x+3=0[/tex3]

Aplicando Báscara

[tex3]x’=3[/tex3]

[tex3]x”=1[/tex3]


6) [tex3]3^{x2-10x+7}=3^{-2}[/tex3]

[tex3]x^2-10x+7=-2[/tex3]

[tex3]x^2-10x+7+2=0[/tex3]

[tex3]x^2-10x+9=0[/tex3]

Aplicando Báscara

[tex3]x’=9[/tex3]

[tex3]x”=1[/tex3]


7) [tex3]4^{-(x-1)}=4^{2(x+2)}[/tex3]

[tex3]-(x-1)=2(x+2)[/tex3]

[tex3]-x+1=2x+4[/tex3]

[tex3]-x-2x=4-1[/tex3]

[tex3]-3x=3[/tex3]

[tex3]x=-1[/tex3]


8) Se [tex3](0,4)^{4x+1}=\sqrt[3]{\frac{5}{2}}[/tex3], então [tex3]x[/tex3] vale:

 

– Primeiro vamos transformar os decimais (números com vírgula) em frações:

fexpoexeresolv5.gif (1179 bytes)

– Veja que podemos simplificar a fração da esquerda e transformar em potência o lado direito da igualdade:

fexpoexeresolv6.gif (1208 bytes)

– As bases estão quase igualadas, só que uma é o inverso da outra. Vamos inverter uma delas e adicionar o expoente “-1”.

fexpoexeresolv7.gif (1676 bytes)

– Agora sim, com as bases igualadas podemos cortá-las:

fexpoexeresolv8.gif (1549 bytes)   Resposta certa letra “B”.


9) (PUC-RS) A soma das raízes da equação [tex3]9\cdot{5^{x^2-2x+1}}=5625[/tex3] é:

– Primeiro vamos “passar” o nove que está multiplicando o lado esquerdo para o lado direito dividindo:

5x2-2x+1=5625/9
5x2-2x+1=625

– Fatorando:

5x2-2x+1=54

– Cortando as bases:

x2-2x+1=4
x2-2x+1-4=0
x2-2x-3=0

– Sendo a fórmula da soma das raízes S=-b/a, temos:

S=-(-2)/1
S=2 Resposta certa letra “D”.


10) (UFRGS) Sabendo-se que [tex3]6^{x+2}=72[/tex3], tem-se que [tex3]6^{-x}[/tex3] vale:

– Para resolver este problema, não precisamos achar o valor de “x” . É pedido quanto vale 6-x, se nós calcularmos quanto é 6x podemos calcular o que é pedido. Veja só:

6x+2=72
6x·62=72
6x·36=72
6x=72/36
6x=2

Agora podemos inverter ambos os lados que a igualdade continua verdadeira:

fexpoexeresolv9.gif (1023 bytes)

– Aplicando as propriedades de potenciação:

6-x
Resposta certa letra “D”


11) (UFRGS) O valor de x que verifica a equação [tex3]\sqrt{4^{x+1}}=\frac{1}{16^{x+1}}[/tex3] é:


12) (UFRGS) A solução da equação [tex3]\sqrt[3]{2^{2x+5}}=(0,25)^{-2x}[/tex3] é

 

[tex3]\sqrt[3]{2^{2x+5}}=(0,25)^{-2x}\\2^{\frac{2x+5}{3}}=\left(\frac{1}{4}\right)^{-2x}\\2^{\frac{2x+5}{3}}=(2^2)^{2x}\\2^{\frac{2x+5}{3}}=2^{4x}[/tex3]

Podemos então cortar as bases:

[tex3]\frac{2x+5}{3}=4x\\2x+5=12x\\x=\frac{1}{2}[/tex3]


13) (UFRGS) Sabendo que [tex3]4^x-4^{x-1}=24[/tex3] então [tex3]x^{\frac{1}{2}}[/tex3] vale:

 

Pegando a expressão dada no enunciado, podemos transformar a subtração em uma divisão:

4x-4x-1=24
4x-4x/4=24

Colocando o termo 4x em evidência:

4x(1-1/4)=24

Efetuando o MMC nos parênteses acima:

4x(3/4)=24

Efetuando as continhas:

4x=24 . (4/3)
4x= 32

Agora podemos colocar os dois lados na base DOIS para poder cortá-la:

22x = 25

Cortando as bases:

2x=5
x=5/2

Como o exercício pede o valor de x1/2 , devemos apenas elevar os dois lados da equação acima no expoente 1/2:

x1/2=(5/2)1/2
x1/2
=51/2/21/2

Racionalizando:

x1/2=101/2/2
Letra E


14) (PUCRS) A soma das raízes da equação [tex3]10^x=\frac{\sqrt[x]{1000^5}}{100}[/tex3] é: