01 – Resolução de Equações Exponenciais do Tipo I

Nosso estudo de Equação Exponencial irá se dividir em equações de dois tipos: tipo 1 e tipo 2. Depois veremos gráficos de funções exponenciais e, por último, as inequações exponenciais.

Para iniciar este estudo, você deve ter lido a matéria “Aritmética Básica“. Pois lá você aprende os fundamentos utilizados nesta matéria (propriedades de potenciação e radiciação).


Para termos uma equação devemos ter uma igualdade. Ou seja, alguma coisa igualada à outra.

E para ser equação exponencial devemos, ainda, ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente [tex3]x[/tex3]) colocada no expoente (na potência).

Para resolvê-las utilizamos métodos que se valem das propriedades que acabamos de estudar.

Não existe uma fórmula mágica para resolução de equações exponenciais, existe um objetivo a ser alcançado: quando nos deparamos com uma equação exponencial devemos procurar um método de IGUALAR AS BASES de ambos os lados da igualdade.

Isso mesmo! Nas equações exponenciais do tipo 1, o objetivo é IGUALAR AS BASES para encontrar o resultado final.

Vamos ver abaixo vários exemplos resolvidos:


Exemplo 1:

[tex3]\boxed{3^x=9}[/tex3]

Esta é a nossa equação exponencial. Temos uma igualdade e veja que sua variável ([tex3]x[/tex3]) está como expoente do termo à esquerda desta igualdade.

Bom, o nosso objetivo é igualar as bases, vamos fatorar ambos os lados:

[tex3]3^x=3^2[/tex3]

O lado esquerdo já estava fatorado. Agora temos os dois lados com a mesma base. Chegamos ao objetivo. Agora devemos “CORTAR” as bases de ambos os lados.

[tex3]\cancel{3}^x=\cancel{3}^2[/tex3]

Pronto, com as bases “cortadas” mantemos os expoentes e calculamos uma equação do primeiro grau.

[tex3]\boxed{\boxed{x=2}}[/tex3]

Esta é a solução deste nosso exemplo!!


Exemplo 2:

Vejam agora um exemplo um pouquinho mais difícil:

[tex3]\boxed{4^{x-1}=32}[/tex3]

O nosso objetivo é sempre o mesmo: igualar as bases.

Vamos fatorar ambos os lados.

[tex3](2^2)^{x-1}=2^5[/tex3]

Temos agora que utilizar as propriedade de potenciação

[tex3]2^{2(x-1)}=2^5[/tex3]

[tex3]2^{2x-2}=2^5[/tex3]

Pronto, estamos com as bases iguais. Vamos cortar e resolver a equação do primeiro grau novamente.

[tex3]2x-2=5[/tex3]

Aplicando as propriedades operatórias.

[tex3]2x=5+2[/tex3]

[tex3]2x=7[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{x=\frac{7}{2}}}[/tex3]


Exemplo 3:

Vamos aumentar mais uma vez o nível.

[tex3]\boxed{25^{3x+1}=\sqrt{5^{56-x}}}[/tex3]

Novamente começamos fatorando:

[tex3](5^2)^{3x+1}=\sqrt{5^{56-x}}[/tex3]

Para igualar as bases, vamos aplicar as propriedades de potenciação e radiciação.

[tex3]5^{2(3x+1)}=5^{\frac{56-x}{2}}[/tex3]

[tex3]5^{6x+2}=5^{\frac{56-x}{2}}[/tex3]

Com as bases igualadas, vamos operar os expoentes:

[tex3]12x+x=56-4[/tex3]

[tex3]13x=52[/tex3]

[tex3]x=\frac{52}{13}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{x=4}}[/tex3]


Exemplo 4:

Mais um exemplo um pouco mais difícil:

[tex3]\boxed{3^{2^{x+1}}=81}[/tex3]

Este exemplo é um pouco mais difícil pois tem um expoente no expoente. Note que teremos que igualar as bases duas vezes. Preste atenção. Vamos fatorar:

[tex3]3^{2^{x+1}}=3^4[/tex3]

Agora podemos cortar as bases. Sobram os expoentes.

[tex3]\cancel{3}^{2^{x+1}}=\cancel{3}^4[/tex3]

[tex3]2^{x+1}=4[/tex3]

Temos outra equação exponencial. Novamente vamos fatorar e igualar as bases.

[tex3]2^{x+1}=2^2[/tex3]

Corta-se as bases.

[tex3]\cancel{2}^{x+1}=\cancel{2}[/tex3]

[tex3]x+1=2[/tex3]

[tex3]x=2-1[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{x=1}}[/tex3]


Exemplo 5:

Novamente, vamos aumentar a dificuldade:

[tex3]\boxed{4^{x+1}\cdot 8^{2x-3}=\frac{2^{1+x}}{16}}[/tex3]

Como sempre, vamos fatorar:

[tex3]\(2^2\)^{x+1}\cdot\(2^3\)^{2x-3}=\frac{2^{1+x}}{2^4}[/tex3]

Vamos aplicar as propriedades operatórias de potenciação para multiplicação e divisão de mesma base.

[tex3]2^{2x+2}\cdot 2^{6x-9}=\frac{2^{1+x}}{2^4}[/tex3]

[tex3]2^{2x+2+6x-9}=2^{1+x-4}[/tex3]

[tex3]2^{8x-7}2^{x-3}[/tex3]

Pronto, objetivo alcançado. Cortando…

[tex3]8x-7=x-3[/tex3]

[tex3]8x-x=7-3[/tex3]

[tex3]7x=4[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{x=\frac{4}{7}}}[/tex3]


Exemplo 6:

Vamos fazer um exemplo agora com várias raízes, uma dentro da outra:

[tex3]\boxed{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2^x}}}=2^{3,5x}}[/tex3]

Esta parece ser bem mais difícil, né?? Mas, a dificuldade é a mesma! Você precisa ter os mesmo conhecimentos para resolvê-la.

As bases já estão definidas, vai ser 2.

O que devemos fazer, agora, é transformar o lado esquerdo em uma única raiz usando as propriedades de radiciação.

Vamos primeiro trabalhar no 2 mais de dentro:

[tex3]\sqrt{2\sqrt{2\cdot 2^{\frac{x}{2}}}}=2^{3,5x}[/tex3]

Agora é só fazer a multiplicação de potências de mesma base.

[tex3]\sqrt{2\sqrt{2^{1+\frac{x}{2}}}}=2^{3,5x}[/tex3]

[tex3]\sqrt{2\sqrt{2^{\frac{2+x}{2}}}}=2^{3,5x}[/tex3]

Uma raiz já foi. Vamos fazer a mesma coisa com as outras:

[tex3]\sqrt{2\cdot 2^{\frac{2+x}{2\cdot 2}}}=2^{3,5x}[/tex3]

[tex3]\sqrt{2\cdot 2^{\frac{2+x}{4}}}=2^{3,5x}[/tex3]

[tex3]\sqrt{2^{1+\frac{2+x}{4}}}=2^{3,5x}[/tex3]

[tex3]\sqrt{2^{\frac{4+2+x}{4}}}=2^{3,5x}[/tex3]

[tex3]\sqrt{2^{\frac{6+x}{4}}}=2^{3,5x}[/tex3]

Mais uma vez para matar a última raiz:

[tex3]2^{\frac{6+x}{8}}=2^{3,5x}[/tex3]

Bases iguais, corta-las:

[tex3]\cancel{2}^{\frac{6+x}{8}}=\cancel{2}^{3,5x}[/tex3]

[tex3]\frac{6+x}{8}=3,5x[/tex3]

[tex3]\frac{6+x}{8}=\frac{35}{10}x[/tex3]

Agora é só operar e isolar [tex3]x[/tex3].

[tex3]10\cdot(6+x)=8\cdot(35x)[/tex3]

[tex3]60+10x=280x[/tex3]

[tex3]60=280x-10x[/tex3]

[tex3]270x=60[/tex3]

[tex3]x=\frac{60}{270}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{x=\frac{2}{9}}}[/tex3]


Exemplo 7:

Vamos ver um exemplo que irá precisar da fórmula de Báscara para resolver:

[tex3]\boxed{3^{x^2-x-6}=1}[/tex3]

Precisamos igualar as bases! Mas, nenhum dos lados da igualdade pode ser fatorado 🙁

Iremos usar uma propriedade que aprendemos na lição passada: qualquer número elevado na potência zero vale 1 ([tex3]x^0=1[/tex3]).

Então, o lado direito da igualdade pode ser escrito como [tex3]3^0[/tex3].

[tex3]3^{x^2-x-6}=3^0[/tex3]

Agora, com as bases igualadas, vamos cortá-las:

[tex3]x^2-x-6=0[/tex3]

Esta é uma equação do segundo grau. Vamos aplicar a fórmula de Báscara para achar as suas raízes:

[tex3]x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}=\boxed{\boxed{\begin{cases}x’=-2\\x”=3\end{cases}}}[/tex3]

Esta é a solução! [tex3]x[/tex3] pode ser qualquer um desses 2 valores.


Exemplo 8:

Último exemplo, agora:

[tex3]\boxed{3\cdot 2^{x+3}=192}[/tex3]

A única diferença deste exemplo é que antes de fatorar para tentar igualar as bases temos que “passar” o três que está multiplicando para o lado direito dividindo:

[tex3]2^{x+3}=\frac{192}{3}[/tex3]

Efetuando o cálculo:

[tex3]2^{x+3}=64[/tex3]

Agora sim!!! Fatoramos para igualar as bases:

[tex3]2^{x+3}=2^6[/tex3]

Cortando:

[tex3]\cancel{2}^{x+3}=\cancel{2}^6[/tex3]

[tex3]x+3=6[/tex3]

[tex3]x=6-3[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{x=3}}[/tex3]


Faça agora alguns exercícios que utilizam este mesmo método para resolução. Após isso veja mais exemplos resolvidos com outros métodos de resolução.