02 – Radiciação

A matéria de radiciação acaba ficando bem mais fácil se você já viu o capítulo de “Potenciação“.

Radiciação é o inverso da potenciação.

Por exemplo, se elevarmos um número [tex3]x[/tex3] à quinta potência e depois tirarmos a raiz quinta do resultado, voltaremos ao número [tex3]x[/tex3] original.

Exemplos de Radiciação:

Para acharmos a raiz cúbica de oito [tex3](\sqrt[3]{8})[/tex3], devemos nos perguntar qual o número que, multiplicado por ele mesmo três vezes, resulta 8.

Ou seja, qual o número que elevado na potência 3 resulta 8?.

A resposta é [tex3]2[/tex3], pois [tex3]2^3=2\cdot 2\cdot 2=8[/tex3]

Nomenclatura:

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Para facilitar as coisas, existe um meio de transformarmos uma raiz em uma potência. Assim fica muito mais fácil, pois podemos utilizar as mesmas propriedade de potenciação.

rad3.gif (2041 bytes)


Propriedades Fundamentais da Radiciação

Vamos agora ver alguma propriedades fundamentais de radiciação:

Propriedade 1: [tex3]\boxed{\Large\sqrt[n]{0}=0}[/tex3]
Comentário: Isto acontece pois ZERO vezes ZERO sempre será zero, não importa quantas “n” vezes ele aparecer.
Propriedade 2: [tex3]\boxed{\Large\sqrt[n]{1}=1}[/tex3]
Comentário: Mesma coisa, um vezes um é sempre 1
Propriedade 3: [tex3]\boxed{\Large\sqrt[1]{a}=a}[/tex3]
Comentário: Esta podemos provar pela definição de raiz. Qual o número que multiplicado uma vez por ele mesmo resula ele? Ele mesmo!
Propriedade 4: [tex3]\boxed{\Large\sqrt[n]{a^n}=a}[/tex3]
Comentário: Se colocarmos esta raiz na forma de potência temos:

[tex3]\sqrt[n]{a^n}=a^{\frac nn}[/tex3]

e a fração [tex3]\frac{n}{n}[/tex3] vale 1, então:

[tex3]\sqrt[n]{a^n}=a^{\frac{n}{n}}=a^1=a[/tex3]

Propriedade 5: [tex3]\boxed{\Large\sqrt[n]{a^b}=a^{\frac{b}{n}}}[/tex3]
Comentário: Esta propriedade é idêntica à primeira desta matéria [tex3]\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}[/tex3], a única diferença é que agora o “a” está elevado em uma potência diferente de 1.

Estas são as principais propriedades de Radiciação.

Agora, vamos ver as propriedades operatórias. Ou seja, como fazer operações com raízes (multiplicação, divisão…).


Propriedades Operatórias da Radiciação

Assim como a potenciação, podemos efetuar operações com dois números que estão dentro de alguma raiz. Para isso, basta sabermos as propriedades operatórias, ou seja, as propriedades que devemos seguir ao efetuar operações (multiplicação de raízes, divisão de raízes, raiz de raiz, …).

Propriedade 1: [tex3]\boxed{\Large\sqrt[x]{a^b}\times\sqrt[y]{a^c}=a^{\frac{b}{x}+\frac{c}{y}}}[/tex3]
Comentário: Ao transformarmos as raízes da multiplicação em potenciação, utilizamos a propriedade de multiplicação de potências de mesma base: conservamos a base e somamos os expoentes.
Propriedade 2[tex3]\boxed{\Large\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}}[/tex3]
ComentárioSe transformarmos a multiplicação de raízes em multiplicação de potências, podemos utilizar a propriedade de multiplicação de dois números na mesma potência.
Propriedade 3[tex3]\boxed{\Large\sqrt[n]{\sqrt[y]{a}}=\sqrt[xy]{a}}[/tex3]
ComentárioNovamente, se transformarmos a raiz em potência, teremos:

[tex3]\sqrt[n]{\sqrt[y]{a}}=\left(a^{\frac{1}{y}}\right)^{\frac{1}{x}}=a^{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}}[/tex3]

Agora o que devemos fazer é voltar de potência para raiz:

[tex3]\left(a^{\frac{1}{y}}\right)^{\frac{1}{x}}=a^{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}}=a^{\frac{1}{xy}}=\sqrt[xy]{a}[/tex3]


ATENÇÃO
Existe uma propriedade matemática para representações de números, que impede a presença de raízes inexatas no denominador de uma fração.

Para mudarmos isso utilizamos uma técnica chamada de Racionalização de Denominadores, que será vista daqui a 3 capítulos.

No próximo tópico iremos aprender como utilizar fatoração para nos auxiliar com potências e no tópico seguinte iremos aprender a racionalizar.