05 – Racionalização de Frações

Vamos ver agora o tópico de Racionalização de Frações, também chamado de Racionalização de Denominadores, pois iremos aplicar esta técnica quando existir um número irracional no denominador da fração.

Em primeiro lugar, conforme ensinado anteriormente (na lição retrasada), não se costuma deixar uma fração com raiz de qualquer ordem no denominador. Ou seja, não se deixa um número irracional no denominador.

Em outras palavras: não podemos ter raízes na parte de baixo de uma fração.

Para corrigirmos isso, usamos uma técnica chamada de “Racionalização de Frações“.

Esta técnica possui esse nome pois estaremos retirando o número irracional da parte de baixo da fração, ou seja, transformando o denominador em um número racional (por isso racionalização).


Racionalização de Frações (Introdução)

A parte básica desta matéria é, simplesmente: multiplicar a fração dada por um número que não altere o seu valor (apenas a sua escrita).

Pense comigo, qual o número que pode ser multiplicado por qualquer outro e não altera o valor deste outro número?

– Isso mesmo, o número 1 🙂

Qualquer número multiplicado por 1 continua com o mesmo valor, veja os exemplos:

[tex3]5\cdot 1=5[/tex3]

[tex3]123\cdot 1=123[/tex3]

Também sabemos que qualquer fração que tenha o numerador (parte de cima da fração) igual ao denominador (parte de baixo da fração) vale 1:

[tex3]\boxed{\frac{5}{5}=1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\frac{-31}{-31}=1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\frac{2,52}{2,52}=1}[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{23}}=1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\frac{\sqrt{\frac{7}{32}}}{\sqrt{\frac{7}{32}}}=1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\frac{-\sqrt{27}}{-\sqrt{27}}=1}[/tex3]

Agora sim, tendo visto esta parte básica, vamos ver os 4 casos da técnica de Racionalização de Frações ou Racionalização de Denominadores.


Racionalização de Frações (1º caso)

O primeiro caso de racionalização é quando temos apenas 1 raiz sozinha no denominador.

Vamos ver como se racionaliza uma fração, utilizando o exemplo abaixo:

Temos a fração [tex3]\frac{32}{\sqrt{5}}[/tex3], e queremos saber uma representação para este mesmo valor, mas sem nenhuma raiz embaixo.

A técnica diz que devemos multiplicar esta fração por outra fração que tenha valor 1 para não alterar seu valor.

Esta fração deve ter seu denominador igual ao seu numerador e ambos igual ao denominador da fração a ser modificada, no caso [tex3]\sqrt{5}[/tex3].

racionalização

Agora, efetuando esta multiplicação de frações (numerador de uma multiplica o numerador de outra, denominador de uma multiplica o denominador de outra):

[tex3]\frac{32\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{32\sqrt{5}}{5}[/tex3]

Pronto, achamos a fração procurada:

[tex3]\frac{32}{\sqrt{5}}=\boxed{\frac{32\sqrt{5}}{5}}[/tex3]

Mais exemplos do primeiro caso de racionalização:

Exemplo 1: [tex3]\boxed{\frac{1}{\sqrt{5}}}[/tex3][tex3]\,\,\,\rightarrow\,\,\,\frac{1}{\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}[/tex3][tex3]\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{\frac{\sqrt{5}}{5}}[/tex3]


Exemplo 2: [tex3]\boxed{\frac{3}{\sqrt{3}}}[/tex3][tex3]\,\,\,\rightarrow\,\,\,\frac{3}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}[/tex3][tex3]\,\,\,\rightarrow\,\,\,\frac{3\sqrt{3}}{3}[/tex3][tex3]\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{\sqrt{3}}[/tex3]


Exemplo 3: [tex3]\boxed{\frac{4}{\sqrt{12}}}[/tex3][tex3]\,\,\,\rightarrow\,\,\,\frac{4}{\sqrt{12}}\times\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{12}}[/tex3][tex3]\,\,\,\rightarrow\,\,\,\frac{4\sqrt{12}}{12}[/tex3][tex3]\,\,\,\rightarrow\,\,\,\frac{\sqrt{12}}{3}[/tex3][tex3]\,\,\,\rightarrow\,\,\,\frac{\sqrt{4\cdot 3}}{3}[/tex3][tex3]\,\,\,\rightarrow\,\,\,\frac{\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}}{3}[/tex3][tex3]\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{\frac{2\sqrt{3}}{3}}[/tex3]

Obs.: Tivemos que fatorar o [tex3]12[/tex3] como [tex3]4\cdot 3[/tex3].


Racionalização de Frações (2º caso)

O segundo acontece quando: além da raiz, temos outro número somado à ela no denominador. Exemplos:

[tex3]\boxed{\frac{23}{4+\sqrt{5}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\frac{\sqrt{2}}{3-\sqrt{7}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}-\sqrt{21}}}[/tex3]

Para racionalizar este tipo de fração devemos, novamente, multiplicar por uma fração de valor 1. Formada pelo denominador da primeira apenas com o sinal do meio trocado.

Veja os exemplos do segundo caso de racionalização:

Exemplo 1: [tex3]\boxed{\frac{23}{4+\sqrt{5}}}[/tex3]

[tex3]\frac{23}{4+\sqrt{5}}\times{\color{blue}\frac{4-\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}}}[/tex3]

[tex3]\frac{23\cdot(4-\sqrt{5})}{(4+\sqrt{5})\cdot(4-\sqrt{5})}[/tex3]

[tex3]\frac{92-23\sqrt{5}}{16+4\sqrt{5}-4\sqrt{5}-5}[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{92-23\sqrt{5}}{11}}[/tex3]


Exemplo 2: [tex3]\boxed{\frac{5}{\sqrt{6}+\sqrt{21}}}[/tex3]

[tex3]\frac{5}{\sqrt{6}+\sqrt{21}}\times{\color{blue}\frac{\sqrt{6}-\sqrt{21}}{\sqrt{6}-\sqrt{21}}}[/tex3]

[tex3]\frac{5\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{21})}{6-21}[/tex3]

[tex3]\boxed{-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{21}}{3}}[/tex3]

Note que a fração grifada em azul nos cálculos acima que é a fração que você deve multiplicar: Ela é igual à parte de baixo da fração que estamos racionalizando, mas com sinal do termo que tem raiz, trocado.


Racionalização de Frações (3º caso)


O terceiro caso ocorre quando temos uma raiz dentro de outra raiz no denominador.

Veja os exemplos do terceiro caso de racionalização:

[tex3]\boxed{\frac{21}{\sqrt{3+\sqrt{7}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\frac{3}{\sqrt{4+\sqrt{15}}}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9-\sqrt{29}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\frac{8}{\sqrt{5-\sqrt{87}}}}[/tex3]

Para resolver estes casos, vamos ter que calcular 2 passos:

Primeiro, devemos multiplicar pela fração formada pela raiz do denominador com o sinal do meio trocado. Veja os exemplos abaixo:

[tex3]\boxed{\frac{21}{\sqrt{3+\sqrt{7}}}}[/tex3]

[tex3]\frac{21}{\sqrt{3+\sqrt{7}}}\times{\color{blue}\frac{\sqrt{3-\sqrt{7}}}{\sqrt{3-\sqrt{7}}}}[/tex3]

[tex3]\frac{21\cdot\sqrt{3-\sqrt{7}}}{\sqrt{(3+\sqrt{7})\cdot(3-\sqrt{7})}}[/tex3]

[tex3]\frac{12\sqrt{3-\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}[/tex3]

Ué, mas ainda tem uma raiz no denominador.

– Isso mesmo, agora a gente faz o segundo passo e aplica o primeiro caso de racionalização nesse resultado.

[tex3]\frac{21\sqrt{3-\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}\times{\color{blue}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}[/tex3]

[tex3]\frac{21\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3-\sqrt{7}}}{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\frac{21\sqrt{6-2\sqrt{7}}}{2}}}[/tex3]


Note que até agora só trabalhamos com raízes quadradas.

Veja no próximo tópico como racionalizar uma fração que tem raízes que não são raízes quadradas (raízes cúbicas, raízes quartas, etc…).


Racionalização de Frações (4º caso)

Este último caso é o menos comum de todos, mas não quer dizer que não caia no Enem ou nos Vestibulares também.

Ele ocorre quando temos uma raiz diferente de raiz quadrada no denominador (raiz cúbica, por exemplo). Veja uns exemplos:

[tex3]\boxed{\frac{2}{\sqrt[3]{65}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[5]{12^3}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\frac{7}{\sqrt[8]{625}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\frac{121}{\sqrt[11]{121}}}[/tex3]

Para resolver este caso de racionalização, novamente, devemos multiplicar esta fração por uma que valha 1 e que nos seja conveniente (tem que retirar a raiz do denominador).

Esta fração conveniente será achada através da seguinte propriedade:

[tex3]\Large\boxed{\boxed{\sqrt[x]{a^b}\times\sqrt[y]{a^c}=a^{\frac{b}{x}+\frac{c}{y}}}}[/tex3]

Sendo que o expoente do resultado [tex3]\frac{b}{x}+\frac{c}{y}[/tex3], deve ser [tex3]1[/tex3].

Vamos ver um exemplo:

[tex3]\boxed{\frac{2}{\sqrt[3]{65}}}[/tex3]

Este será o exemplo que iremos desenvolver. Primeiro iremos transformar a raiz cúbica do denominador em uma potência:

[tex3]\frac{2}{65^{\frac{1}{3}}}[/tex3]

Pronto! Agora, em cima deste [tex3]\frac{1}{3}[/tex3], devemos achar um expoente [tex3]x[/tex3] que, somado a ele, resulte 1.

[tex3]\frac{1}{3}+x=1\,\,\,\rightarrow\,\,\,x=1-\frac{1}{3}\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{x=\frac{2}{3}}[/tex3]

O expoente [tex3]x[/tex3] que procuramos é [tex3]x=\frac{2}{3}[/tex3]. Portanto, a fração conveniente que irá multiplicar nosso [tex3]\frac{2}{\sqrt[3]{65}}[/tex3] será a fração formada por [tex3]65^{\frac{2}{3}}[/tex3] na parte de cima e de baixo.

Vamos multiplicar.

[tex3]\frac{2}{65^{\frac{1}{3}}}\times\frac{65^{\frac{2}{3}}}{65^{\frac{2}{3}}}[/tex3]

[tex3]\frac{2\times 65^{\frac{2}{3}}}{65^{\frac{1}{3}}\times65^{\frac{2}{3}}}[/tex3]

[tex3]\frac{2\sqrt[3]{65^2}}{65^{\(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\)}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\frac{2\sqrt[3]{4225}}{65}}}[/tex3]

Esta é a resposta final!


Agora, faça os exercícios sobre potenciação e radiciação para testar se você obteve êxito neste estudo inicial.