Potenciação
Quando estivermos operando uma equação, diversas vezes encontraremos potências envolvidas no meio do cálculo.
Existem algumas regras que nos ajudam a mexer com estas potências.
Irei mostrar as propriedades uma a uma. Sempre ilustrando com um exemplo para tentar “demonstrar” de onde veio a regra.
MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
Esta é a primeira propriedade pois é a mais utilizada de todas.
Por exemplo, se aparecer o número [tex3]5^4[/tex3] multiplicado por [tex3]5^3[/tex3]
[tex3]\Large{\boxed{5^4\,\cdot\,5^3}}[/tex3] Esta é a operação que queremos efetuar. [tex3](5\,\cdot\,5\,\cdot\,5\,\cdot\,5)\,\cdot\,(5\,\cdot\,5\,\cdot\,5)[/tex3] Agora veja que esta multiplicação é igual à 5 elevado [tex3]5^4\,\cdot\,5^3=5^{4+3}=5^7[/tex3] Daqui nós tiramos a regra para qualquer multiplicação [tex3]\Large{\boxed{\boxed{X^a\,\cdot\,X^b=X^{a+b}}}}[/tex3] Esta é a regra. “X” pode ser qualquer número (real, imaginário…), que a regra continuará valendo. Conserva-se a base e soma-se os expoentes. É muito importante entendê-la, pois é muito utilizada. Note que a base deve ser a mesma nos fatores, e ela que aparecerá no produto. |
DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.
O exemplo será 126 divididos por 122:
[tex3]\Large{\boxed{\frac{12^6}{12^2}}}[/tex3] Esta é a divisão que queremos efetuar. [tex3]\frac{12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12}{12\,\cdot\,12}[/tex3] Agora podemos cortar os termos semelhantes que estão acima e abaixo da fração.Portanto podemos cortar dois fatores 12 de cima com dois fatores 12 de baixo. [tex3]\frac{12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot \cancel{12}\cdot \cancel{12}}{\cancel{12}\cdot \cancel{12}}[/tex3] Ao cortar, estaremos retirando 2 unidades da potência de cima. Estas duas unidades são referentes ao expoente 2 da potência de baixo. [tex3]12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12=12^4[/tex3] [tex3]\frac{12^6}{12^2}=12^{6-2}=12^4[/tex3] Veja que esta multiplicação é igual à 124 , isto nos dá a regra para qualquer divisão de potências com mesma base. Conserva-se a base e subtraí-se os expoentes. Genericamente, temos: [tex3]\Large{\boxed{\boxed{\frac{X^a}{X^b}=X^{a-b}}}}[/tex3] Novamente, “X” pode ser qualquer número (real, imaginário…) que a regra ainda vale. Estas são as duas regras mais utilizadas. |
MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE
Até agora vimos multiplicação e divisão com termos de mesma base. E quando não tiver mesma base??? O que podemos fazer?Só podemos efetuar uma operação quando tivermos mesma base ou mesmo expoente. O que vamos ver agora é justamente o segundo caso: expoentes
iguais. O exemplo será 65 multiplicados por 95:
[tex3]\Large{\boxed{6^5\cdot 9^5}}[/tex3] Este é o exemplo. Agora vamos abrir as potências. [tex3]6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 9\cdot 9\cdot 9\cdot 9\cdot 9[/tex3] Qualquer multiplicação tem a propriedade de comutatividade, ou seja, se invertermos a ordem de multiplicação o valor não se altera. Então vamos colocar esta multiplicação em outra ordem. [tex3]6\cdot 9\cdot 6\cdot 9\cdot 6\cdot 9\cdot 6\cdot 9\cdot 6\cdot 9[/tex3] [tex3](6\cdot 9)\cdot(6\cdot 9)\cdot(6\cdot 9)\cdot(6\cdot 9)\cdot(6\cdot 9)[/tex3] Agora temos a multiplicação 6 · 9 aparecendo 5 vezes. Então: [tex3]6^5\cdot 9^5=(6\cdot 9)^5[/tex3] E esta propriedade podemos aplicar para qualquer número. Conserva-se o expoente e multiplica-se a base. Generalizando: [tex3]\Large{\boxed{\boxed{X^a\cdot Y^a=(XY)^a}}}[/tex3] Os números “X” e “Y” podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos. |
DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE
O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.
O exemplo será 84 divididos por 54:
[tex3]\Large{\boxed{\frac{8^4}{5^4}}}[/tex3] Este é o exemplo que iremos usar. Vamos abrir as potências. [tex3]\frac{8\,\cdot\,8\,\cdot\,8\,\cdot\,8}{5\,\cdot\,5\,\cdot\,5\,\cdot\,5}[/tex3] Como temos multiplicação em cima e embaixo da fração, podemos separar em 4 frações multiplicadas uma pela outra. [tex3]\frac 85\,\cdot\,\frac 85\,\cdot\,\frac 85\,\cdot\,\frac 85[/tex3] E isto é a fração [tex3]\frac 85[/tex3] elevado na potência 4. [tex3]\frac{8^4}{5^4}=\left(\frac 85\right)^4[/tex3] E esta propriedade pode se aplicar para quaisquer números do conjunto dos complexos. Generalizando, [tex3]\Large{\boxed{\boxed{\frac{X^a}{Y^a}=\left(\frac{X}{Y}\right)^a}}}[/tex3] Os números “X” e “Y” podem ser quaisquer números do conjunto dos números complexos. Conserva-se o expoente e divide-se as bases. |
POTÊNCIA DE POTÊNCIA
Já vimos as principais propriedades de operações.
Agora vamos ver quando tivermos uma potência de um número que já tem uma potência. Veja o exemplo:
[tex3]\Large{(4^2)^3}[/tex3]
O que devemos fazer?
Vamos desenvolver este exemplo:
[tex3]\Large{\boxed{(4^2)^3}}[/tex3] Vamos abrir a potência de dentro do parênteses [tex3](4\cdot 4)^3[/tex3] Agora a potência fora do parênteses diz que devemos multiplicar o que tem dentro do parênteses três vezes, [tex3](4\cdot 4)\cdot (4\cdot 4)\cdot (4\cdot 4)[/tex3] [tex3]4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4[/tex3] E isso nos dá a potência 46. E agora tiramos outra regra para potências. [tex3](4^2)^3=4^{2\cdot 3}=4^6[/tex3] Generalizando, ficamos com: [tex3]\Large{\boxed{\boxed{(X^a)^b=X^{a\cdot b}}}}[/tex3] Onde “a” e “b” podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos.Potência de potência, multiplica-se os expoentes. |
ATENÇÃO
Quando tivermos um número negativo elevado a uma potência, devemos tomar a seguinte precaução, veja os exemplo:
[tex3](-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = +25[/tex3]
[tex3](-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = +16[/tex3]
Note, então, que quando temos um número negativo elevado em qualquer expoente PAR este se comporta como se fosse positivo, pois na multiplicação “menos com menos dá mais”:
(-5)2=52=25
(-2)4=24=16
Se “k” for PAR (-X)k=Xk
E se tivermos um expoente ímpar?
(-5)3=(-5)·(-5)·(-5)
Se pegarmos os dois primeiro números multiplicados, temos (-5)2=+25, substituindo ao lado:
(-5)3=25·(-5)=–125
Sempre que tivermos um número negativo elevado em qualquer expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na resposta
PEGA-RATÃO
(-5)2 é totalmente diferente de -52 . No primeiro caso o sinal de menos também está elevado ao quadrado, então a resposta
é +25. Já no segundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, somente o 5, portanto a resposta é -25.
Para representar números muito grandes ou até mesmo efetuar cálculos com eles, é utilizado potências com algumas bases fixas.
Uma das bases mais utilizadas é a base DEZ. No tópico após “Radiciação” iremos estudar esta base.
Agora iremos ver propriedades semelhante a esta, mas para radiciação. Clique na seta “avançar” abaixo e continue estudando.