01.1 – Potenciação – Propriedades Operatórias

Potenciação

Quando estivermos operando uma equação, diversas vezes encontraremos potências envolvidas no meio do cálculo.

Existem algumas regras que nos ajudam a mexer com estas potências.

Irei mostrar as propriedades uma a uma. Sempre ilustrando com um exemplo para tentar “demonstrar” de onde veio a regra.


MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE

Esta é a primeira propriedade pois é a mais utilizada de todas.

Por exemplo, se aparecer o número [tex3]5^4[/tex3] multiplicado por [tex3]5^3[/tex3]

multiplicação de potências de mesma base

[tex3]\Large{\boxed{5^4\,\cdot\,5^3}}[/tex3]

Esta é a operação que queremos efetuar.
Vamos abrir a potência

[tex3](5\,\cdot\,5\,\cdot\,5\,\cdot\,5)\,\cdot\,(5\,\cdot\,5\,\cdot\,5)[/tex3]

Agora veja que esta multiplicação é igual à 5 elevado
à potência sete. Este 7 veio da soma dos 4 fatores de 54 com os 3 fatores de 53

[tex3]5^4\,\cdot\,5^3=5^{4+3}=5^7[/tex3]

Daqui nós tiramos a regra para qualquer multiplicação
de potências com mesma base.
Conserva-se a base e soma-se o expoente. Genericamente temos:

[tex3]\Large{\boxed{\boxed{X^a\,\cdot\,X^b=X^{a+b}}}}[/tex3]

Esta é a regra. “X” pode ser qualquer número (real, imaginário…), que a regra continuará valendo.

Conserva-se a base e soma-se os expoentes.

É muito importante entendê-la, pois é muito utilizada. Note que a base deve ser a mesma nos fatores, e ela que aparecerá no produto.


DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE

O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.

O exemplo será 126 divididos por 122:

divisão de potências de mesma base

[tex3]\Large{\boxed{\frac{12^6}{12^2}}}[/tex3]

Esta é a divisão que queremos efetuar.
Vamos novamente abrir a potência.

[tex3]\frac{12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12}{12\,\cdot\,12}[/tex3]

Agora podemos cortar os termos semelhantes que estão acima e abaixo da fração.Portanto podemos cortar dois fatores 12 de cima com dois fatores 12 de baixo.

[tex3]\frac{12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot \cancel{12}\cdot \cancel{12}}{\cancel{12}\cdot \cancel{12}}[/tex3]

Ao cortar, estaremos retirando 2 unidades da potência de cima. Estas duas unidades são referentes ao expoente 2 da potência de baixo.

[tex3]12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12=12^4[/tex3]

[tex3]\frac{12^6}{12^2}=12^{6-2}=12^4[/tex3]

Veja que esta multiplicação é igual à 124 , isto nos dá a regra para qualquer divisão de potências com mesma base.

Conserva-se a base e subtraí-se os expoentes.

Genericamente, temos:

[tex3]\Large{\boxed{\boxed{\frac{X^a}{X^b}=X^{a-b}}}}[/tex3]

Novamente, “X” pode ser qualquer número (real, imaginário…) que a regra ainda vale.

Estas são as duas regras mais utilizadas.


MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE

Até agora vimos multiplicação e divisão com termos de mesma base. E quando não tiver mesma base??? O que podemos fazer?Só podemos efetuar uma operação quando tivermos mesma base ou mesmo expoente. O que vamos ver agora é justamente o segundo caso: expoentes
iguais. O exemplo será 6multiplicados por 95:

multiplicação de potências de mesmo expoentes

[tex3]\Large{\boxed{6^5\cdot 9^5}}[/tex3]

Este é o exemplo. Agora vamos abrir as potências.

[tex3]6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 9\cdot 9\cdot 9\cdot 9\cdot 9[/tex3]

Qualquer multiplicação tem a propriedade de comutatividade, ou seja, se invertermos a ordem de multiplicação o valor não se altera.

Então vamos colocar esta multiplicação em outra ordem.

[tex3]6\cdot 9\cdot 6\cdot 9\cdot 6\cdot 9\cdot 6\cdot 9\cdot 6\cdot 9[/tex3]

[tex3](6\cdot 9)\cdot(6\cdot 9)\cdot(6\cdot 9)\cdot(6\cdot 9)\cdot(6\cdot 9)[/tex3]

Agora temos a multiplicação 6 · 9 aparecendo 5 vezes. Então:

[tex3]6^5\cdot 9^5=(6\cdot 9)^5[/tex3]

E esta propriedade podemos aplicar para qualquer número.

Conserva-se o expoente e multiplica-se a base.

Generalizando:

[tex3]\Large{\boxed{\boxed{X^a\cdot Y^a=(XY)^a}}}[/tex3]

Os números “X” e “Y” podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos.


DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE

O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.

O exemplo será 84 divididos por 54:

divisão de potências de mesmo expoente

[tex3]\Large{\boxed{\frac{8^4}{5^4}}}[/tex3]

Este é o exemplo que iremos usar. Vamos abrir as potências.

[tex3]\frac{8\,\cdot\,8\,\cdot\,8\,\cdot\,8}{5\,\cdot\,5\,\cdot\,5\,\cdot\,5}[/tex3]

Como temos multiplicação em cima e embaixo da fração, podemos separar em 4 frações multiplicadas uma pela outra.

[tex3]\frac 85\,\cdot\,\frac 85\,\cdot\,\frac 85\,\cdot\,\frac 85[/tex3]

E isto é a fração [tex3]\frac 85[/tex3] elevado na potência 4.

[tex3]\frac{8^4}{5^4}=\left(\frac 85\right)^4[/tex3]

E esta propriedade pode se aplicar para quaisquer números do conjunto dos complexos. Generalizando,

[tex3]\Large{\boxed{\boxed{\frac{X^a}{Y^a}=\left(\frac{X}{Y}\right)^a}}}[/tex3]

Os números “X” e “Y” podem ser quaisquer números do conjunto dos números complexos.

Conserva-se o expoente e divide-se as bases.


POTÊNCIA DE POTÊNCIA

potência de potênciaPotência de Potência

Já vimos as principais propriedades de operações.

Agora vamos ver quando tivermos uma potência de um número que já tem uma potência. Veja o exemplo:

[tex3]\Large{(4^2)^3}[/tex3]

O que devemos fazer?

Vamos desenvolver este exemplo:

[tex3]\Large{\boxed{(4^2)^3}}[/tex3]

Vamos abrir a potência de dentro do parênteses

[tex3](4\cdot 4)^3[/tex3]

Agora a potência fora do parênteses diz que devemos multiplicar o que tem dentro do parênteses três vezes,

[tex3](4\cdot 4)\cdot (4\cdot 4)\cdot (4\cdot 4)[/tex3]

[tex3]4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4[/tex3]

E isso nos dá a potência 46. E agora tiramos outra regra para potências.

[tex3](4^2)^3=4^{2\cdot 3}=4^6[/tex3]

Generalizando, ficamos com:

[tex3]\Large{\boxed{\boxed{(X^a)^b=X^{a\cdot b}}}}[/tex3]

Onde “a” e “b” podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos.Potência de potência, multiplica-se os expoentes.


ATENÇÃO

Quando tivermos um número negativo elevado a uma potência, devemos tomar a seguinte precaução, veja os exemplo:

[tex3](-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = +25[/tex3]

[tex3](-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = +16[/tex3]

Note, então, que quando temos um número negativo elevado em qualquer expoente PAR este se comporta como se fosse positivo, pois na multiplicação “menos com menos dá mais”:

(-5)2=52=25

(-2)4=24=16

Se “k” for PAR (-X)k=Xk

E se tivermos um expoente ímpar?

(-5)3=(-5)·(-5)·(-5)

Se pegarmos os dois primeiro números multiplicados, temos (-5)2=+25, substituindo ao lado:

(-5)3=25·(-5)=125

Sempre que tivermos um número negativo elevado em qualquer expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na resposta


PEGA-RATÃO

(-5)2 é totalmente diferente de -52 . No primeiro caso o sinal de menos também está elevado ao quadrado, então a resposta
é +25. Já no segundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, somente o 5, portanto a resposta é -25.

Para representar números muito grandes ou até mesmo efetuar cálculos com eles, é utilizado potências com algumas bases fixas.
Uma das bases mais utilizadas é a base DEZ. No tópico após “Radiciação” iremos estudar esta base.

Agora iremos ver propriedades semelhante a esta, mas para radiciação. Clique na seta “avançar” abaixo e continue estudando.

Todas estas fórmulas você encontra, para referência rápida, no item resumo do menu lá em cima da página.