01.1 – Potenciação – Propriedades Operatórias

[tex3]\Large{\boxed{5^4\,\cdot\,5^3}}[/tex3]

Esta é a operação que queremos efetuar.
Vamos abrir a potência

[tex3](5\,\cdot\,5\,\cdot\,5\,\cdot\,5)\,\cdot\,(5\,\cdot\,5\,\cdot\,5)[/tex3]

Agora veja que esta multiplicação é igual à 5 elevado
à potência sete. Este 7 veio da soma dos 4 fatores de 5⁴ com os 3 fatores de 5³

[tex3]5^4\,\cdot\,5^3=5^{4+3}=5^7[/tex3]

Daqui nós tiramos a regra para qualquer multiplicação
de potências com mesma base.
Conserva-se a base e soma-se o expoente. Genericamente temos:

[tex3]\Large{\boxed{\boxed{X^a\,\cdot\,X^b=X^{a+b}}}}[/tex3]

Esta é a regra. “X” pode ser qualquer número (real, imaginário…), que a regra continuará valendo.

Conserva-se a base e soma-se os expoentes.

É muito importante entendê-la, pois é muito utilizada. Note que a base deve ser a mesma nos fatores, e ela que aparecerá no produto.

[tex3]\Large{\boxed{\frac{12^6}{12^2}}}[/tex3]

Esta é a divisão que queremos efetuar.
Vamos novamente abrir a potência.

[tex3]\frac{12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12}{12\,\cdot\,12}[/tex3]

Agora podemos cortar os termos semelhantes que estão acima e abaixo da fração.Portanto podemos cortar dois fatores 12 de cima com dois fatores 12 de baixo.

[tex3]\frac{12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot \cancel{12}\cdot \cancel{12}}{\cancel{12}\cdot \cancel{12}}[/tex3]

Ao cortar, estaremos retirando 2 unidades da potência de cima. Estas duas unidades são referentes ao expoente 2 da potência de baixo.

[tex3]12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12=12^4[/tex3]

[tex3]\frac{12^6}{12^2}=12^{6-2}=12^4[/tex3]

Veja que esta multiplicação é igual à 12⁴ , isto nos dá a regra para qualquer divisão de potências com mesma base.

Conserva-se a base e subtraí-se os expoentes.

Genericamente, temos:

[tex3]\Large{\boxed{\boxed{\frac{X^a}{X^b}=X^{a-b}}}}[/tex3]

Novamente, “X” pode ser qualquer número (real, imaginário…) que a regra ainda vale.

Estas são as duas regras mais utilizadas.

[tex3]\Large{\boxed{6^5\cdot 9^5}}[/tex3]

Este é o exemplo. Agora vamos abrir as potências.

[tex3]6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 9\cdot 9\cdot 9\cdot 9\cdot 9[/tex3]

Qualquer multiplicação tem a propriedade de comutatividade, ou seja, se invertermos a ordem de multiplicação o valor não se altera.

Então vamos colocar esta multiplicação em outra ordem.

[tex3]6\cdot 9\cdot 6\cdot 9\cdot 6\cdot 9\cdot 6\cdot 9\cdot 6\cdot 9[/tex3]

[tex3](6\cdot 9)\cdot(6\cdot 9)\cdot(6\cdot 9)\cdot(6\cdot 9)\cdot(6\cdot 9)[/tex3]

Agora temos a multiplicação 6 · 9 aparecendo 5 vezes. Então:

[tex3]6^5\cdot 9^5=(6\cdot 9)^5[/tex3]

E esta propriedade podemos aplicar para qualquer número.

Conserva-se o expoente e multiplica-se a base.

Generalizando:

[tex3]\Large{\boxed{\boxed{X^a\cdot Y^a=(XY)^a}}}[/tex3]

Os números “X” e “Y” podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos.

[tex3]\Large{\boxed{\frac{8^4}{5^4}}}[/tex3]

Este é o exemplo que iremos usar. Vamos abrir as potências.

[tex3]\frac{8\,\cdot\,8\,\cdot\,8\,\cdot\,8}{5\,\cdot\,5\,\cdot\,5\,\cdot\,5}[/tex3]

Como temos multiplicação em cima e embaixo da fração, podemos separar em 4 frações multiplicadas uma pela outra.

[tex3]\frac 85\,\cdot\,\frac 85\,\cdot\,\frac 85\,\cdot\,\frac 85[/tex3]

E isto é a fração [tex3]\frac 85[/tex3] elevado na potência 4.

[tex3]\frac{8^4}{5^4}=\left(\frac 85\right)^4[/tex3]

E esta propriedade pode se aplicar para quaisquer números do conjunto dos complexos. Generalizando,

[tex3]\Large{\boxed{\boxed{\frac{X^a}{Y^a}=\left(\frac{X}{Y}\right)^a}}}[/tex3]

Os números “X” e “Y” podem ser quaisquer números do conjunto dos números complexos.

Conserva-se o expoente e divide-se as bases.

[tex3]\Large{\boxed{(4^2)^3}}[/tex3]

Vamos abrir a potência de dentro do parênteses

[tex3](4\cdot 4)^3[/tex3]

Agora a potência fora do parênteses diz que devemos multiplicar o que tem dentro do parênteses três vezes,

[tex3](4\cdot 4)\cdot (4\cdot 4)\cdot (4\cdot 4)[/tex3]

[tex3]4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4[/tex3]

E isso nos dá a potência 4⁶. E agora tiramos outra regra para potências.

[tex3](4^2)^3=4^{2\cdot 3}=4^6[/tex3]

Generalizando, ficamos com:

[tex3]\Large{\boxed{\boxed{(X^a)^b=X^{a\cdot b}}}}[/tex3]

Onde “a” e “b” podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos.Potência de potência, multiplica-se os expoentes.