O estudo de fatoração em números primos é muito importante para diversas partes da Matemática, mas principalmente para potenciação e fatoração. Por isso colocamos todos estes tópicos juntos.
O que significa fatorar? O que é um fator? Números Primos? 🙂
Quando aprendemos a multiplicar (lá nas primeiras séries), também aprendemos o que é um fator.
Cada parte de uma multiplicação tem seu nome:
Fatorar um número nada mais é do que achar uma multiplicação de números que resulte o número a ser fatorado. Exemplos:
Uma fatoração para 4 pode ser 2 · 2
9 = 3 · 3
32 = 16 · 2
90 = 15 · 3 · 2
Todos estes são exemplos de fatoração.
Mas o que nos interessa é a fatoração em números primos.
Fatorar em números primos é achar uma multiplicação de números primos que resulta no número que deseja-se fatorar.
Veja que os dois últimos exemplos, logo acima, não são fatoração em primos, pois 16 e 15 não são números primos. Então aquela fatoração é somente fatoração, e não fatoração em números primos.
| NÚMEROS PRIMOS |
| Número Primo Positivo é todo aquele número que só pode ser dividido pelos números positivos 1 e ele mesmo.Por exemplo, o número 10 não é primo, pois pode ser dividido por 1, 2, 5 e 10.
O número 5 é primo, pois só pode ser dividido por 1 e por 5. Os primeiros números primos positivos são: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37…} Curiosidade: O único número primo positivo que é PAR é o 2. Todos os restantes são ímpares. Obs.: A qualidade de ser primo é algo que também afeta os números negativos. Apesar de não ser algo muito utilizado nos vestibulares. Para os negativos, dizemos que um número é primo negativo quando só pode ser divido pelos números negativos -1 e ele mesmo. Ou seja, o número -3, que só pode ser dividido pelos negativos -1 por ele mesmo também é primo. |
Para fatorar um número em fatores primos utilizamos um método que foi ensinado a vocês nas primeiras séries do colégio.
Começamos escrevendo o número a fatorar com uma barra vertical ao lado:
Por isso não iremos entrar muito em detalhes. Veja os exemplos abaixo:
| [tex3]\hspace{25pt}\begin{array}{|l}\llap{81~~} 3 \\ \llap{27~~} 3 \\ \llap{9~~} 3 \\ \llap{3~~} 3 \\ \llap{1~~} 3 \\ \end{array}[/tex3] | [tex3]\hspace{25pt}\begin{array}{|l} \llap{126~~} 2 \\ \llap{63~~} 3 \\ \llap{21~~} 3 \\ \llap{7~~} 7 \\ \llap{1~~} \\ \end{array}[/tex3] | [tex3]\hspace{25pt}\begin{array}{|l} \llap{147~~} 3 \\ \llap{49~~} 7 \\ \llap{7~~} 7 \\ \llap{1~~} \\ \end{array}[/tex3] | [tex3]\hspace{25pt}\begin{array}{|l} \llap{1365~~} 3 \\ \llap{455~~} 5 \\ \llap{91~~} 7 \\ \llap{13~~} 13 \\ \llap{1~~} \\ \end{array}[/tex3] |
Com isso achamos a fatoração em primos destes números:
| Número | Fatoração em primos |
Fatoração em Primos utilizando Potências |
| 81 | 3 · 3 · 3 · 3 | 34 |
| 126 | 2 · 3 · 3 · 7 | 2 · 32 · 7 |
| 147 | 3 · 7 · 7 | 3 · 72 |
| 1365 | 3 · 5 · 7 · 13 |
Agora vamos ver a aplicação de tudo isso na potenciação e radiciação. Veja os exemplos:
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[tex3]\boxed{\Large\sqrt{32}}[/tex3] Primeiro fatoramos o radicando: [tex3]\sqrt{2\cdot+2\cdot+2\cdot+2\cdot+2}[/tex3] [tex3]\sqrt{2^2\cdot+2^2\cdot+2}[/tex3] Agora aplicando as propriedades de radiciação: [tex3]\sqrt{2^2\cdot+2^2\cdot+2}[/tex3] [tex3]\sqrt{2^2}\cdot+\sqrt{2^2}\cdot+\sqrt{2}[/tex3] [tex3]2\cdot+2\cdot\sqrt{2}[/tex3] [tex3]4\sqrt 2[/tex3] Portanto, [tex3]\boxed{\boxed{\sqrt{32}=4\sqrt{2}}}[/tex3] |
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[tex3]\boxed{\Large\sqrt{147}}[/tex3] [tex3]\sqrt{147}[/tex3] [tex3]\sqrt{3\cdot+7+\cdot+7}[/tex3] [tex3]\sqrt{3\cdot+7^2}[/tex3] [tex3]\sqrt{3}\cdot+7[/tex3] [tex3]7\sqrt 3[/tex3] [tex3]\boxed{\boxed{\sqrt{147}=7\sqrt{3}}}[/tex3] |
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[tex3]\boxed{\Large\sqrt[3]{128}}[/tex3] [tex3]\sqrt[3]{128}[/tex3] [tex3]\sqrt[3]{2\cdot+2\cdot+2\cdot+2\cdot+2\cdot+2\cdot+2}[/tex3] [tex3]\sqrt[3]{2^3\cdot+2^3\cdot+2}[/tex3] [tex3]\sqrt[3]{2^3}\cdot+\sqrt[3]{2^3}\cdot+\sqrt[3]{2}[/tex3] [tex3]2\cdot+2\cdot\sqrt[3]{2}[/tex3] [tex3]4\sqrt[3]{2}[/tex3] [tex3]\boxed{\boxed{\sqrt[3]{128}=4\sqrt[3]{2}}}[/tex3] |
|
[tex3]\boxed{\Large\sqrt[3]{13500}}[/tex3] [tex3]\sqrt[3]{13500}[/tex3] [tex3]\sqrt[3]{2\cdot+2\cdot+3\cdot+3\cdot+3\cdot+5\cdot+5\cdot+5}[/tex3] [tex3]\sqrt[3]{2^2}\cdot+\sqrt[3]{3^3}\cdot+\sqrt[3]{5^3}[/tex3] [tex3]15\sqrt[3]{2^2}[/tex3] [tex3]\boxed{\boxed{\sqrt[3]{13500}=15\sqrt[3]{2^2}}}[/tex3] |