04 – Fatoração

O estudo de fatoração em números primos é muito importante para diversas partes da Matemática, mas principalmente para potenciação e fatoração. Por isso colocamos todos estes tópicos juntos.

O que significa fatorar? O que é um fator? Números Primos? 🙂

Quando aprendemos a multiplicar (lá nas primeiras séries), também aprendemos o que é um fator.
Cada parte de uma multiplicação tem seu nome:

fator1.gif (1571 bytes)

Fatorar um número nada mais é do que achar uma multiplicação de números que resulte o número a ser fatorado. Exemplos:

Uma fatoração para 4 pode ser 2 · 2

9 = 3 · 3

32 = 16 · 2

90 = 15 · 3 · 2

Todos estes são exemplos de fatoração.

Mas o que nos interessa é a fatoração em números primos.

Fatorar em números primos é achar uma multiplicação de números primos que resulta no número que deseja-se fatorar.

Veja que os dois últimos exemplos, logo acima, não são fatoração em primos, pois 16 e 15 não são números primos. Então aquela fatoração é somente fatoração, e não fatoração em números primos.

 

NÚMEROS PRIMOS
Número Primo Positivo é todo aquele número que só pode ser dividido pelos números positivos 1 e  ele mesmo.Por exemplo, o número 10 não é primo, pois pode ser dividido por 1, 2, 5 e 10.

O número 5 é primo, pois só pode ser dividido por 1 e por 5.

Os primeiros números primos positivos são:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37…}

Curiosidade: O único número primo positivo que é PAR é o 2. Todos os restantes são ímpares.

Obs.: A qualidade de ser primo é algo que também afeta os números negativos. Apesar de não ser algo muito utilizado nos vestibulares. Para os negativos, dizemos que um número é primo negativo quando só pode ser divido pelos números negativos -1 e ele mesmo. Ou seja, o número -3, que só pode ser dividido pelos negativos -1 por ele mesmo também é primo.

Para fatorar um número em fatores primos utilizamos um método que foi ensinado a vocês nas primeiras séries do colégio.

Começamos escrevendo o número a fatorar com uma barra vertical ao lado:

Por isso não iremos entrar muito em detalhes. Veja os exemplos abaixo:

 

[tex3]\hspace{25pt}\begin{array}{|l}\llap{81~~} 3 \\ \llap{27~~} 3 \\ \llap{9~~} 3 \\ \llap{3~~} 3 \\ \llap{1~~} 3 \\ \end{array}[/tex3] [tex3]\hspace{25pt}\begin{array}{|l} \llap{126~~} 2 \\ \llap{63~~} 3 \\ \llap{21~~} 3 \\ \llap{7~~} 7 \\ \llap{1~~} \\ \end{array}[/tex3] [tex3]\hspace{25pt}\begin{array}{|l} \llap{147~~} 3 \\ \llap{49~~} 7 \\ \llap{7~~} 7 \\ \llap{1~~} \\ \end{array}[/tex3] [tex3]\hspace{25pt}\begin{array}{|l} \llap{1365~~} 3 \\ \llap{455~~} 5 \\ \llap{91~~} 7 \\ \llap{13~~} 13 \\ \llap{1~~} \\ \end{array}[/tex3]

Com isso achamos a fatoração em primos destes números:

Número Fatoração
em primos
Fatoração em Primos
utilizando Potências
81 3 · 3 · 3 · 3 34
126 2 · 3 · 3 · 7 2 · 32 · 7
147 3 · 7 · 7 3 · 72
1365 3 · 5 · 7 · 13

 


Agora vamos ver a aplicação de tudo isso na potenciação e radiciação. Veja os exemplos:

 

[tex3]\boxed{\Large\sqrt{32}}[/tex3]

Primeiro fatoramos o radicando:

[tex3]\sqrt{2\cdot+2\cdot+2\cdot+2\cdot+2}[/tex3]

[tex3]\sqrt{2^2\cdot+2^2\cdot+2}[/tex3]

Agora aplicando as propriedades de radiciação:

[tex3]\sqrt{2^2\cdot+2^2\cdot+2}[/tex3]

[tex3]\sqrt{2^2}\cdot+\sqrt{2^2}\cdot+\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]2\cdot+2\cdot\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]4\sqrt 2[/tex3]

Portanto,

[tex3]\boxed{\boxed{\sqrt{32}=4\sqrt{2}}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\Large\sqrt{147}}[/tex3]

[tex3]\sqrt{147}[/tex3]

[tex3]\sqrt{3\cdot+7+\cdot+7}[/tex3]

[tex3]\sqrt{3\cdot+7^2}[/tex3]

[tex3]\sqrt{3}\cdot+7[/tex3]

[tex3]7\sqrt 3[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\sqrt{147}=7\sqrt{3}}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\Large\sqrt[3]{128}}[/tex3]

[tex3]\sqrt[3]{128}[/tex3]

[tex3]\sqrt[3]{2\cdot+2\cdot+2\cdot+2\cdot+2\cdot+2\cdot+2}[/tex3]

[tex3]\sqrt[3]{2^3\cdot+2^3\cdot+2}[/tex3]

[tex3]\sqrt[3]{2^3}\cdot+\sqrt[3]{2^3}\cdot+\sqrt[3]{2}[/tex3]

[tex3]2\cdot+2\cdot\sqrt[3]{2}[/tex3]

[tex3]4\sqrt[3]{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\sqrt[3]{128}=4\sqrt[3]{2}}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\Large\sqrt[3]{13500}}[/tex3]

[tex3]\sqrt[3]{13500}[/tex3]

[tex3]\sqrt[3]{2\cdot+2\cdot+3\cdot+3\cdot+3\cdot+5\cdot+5\cdot+5}[/tex3]

[tex3]\sqrt[3]{2^2}\cdot+\sqrt[3]{3^3}\cdot+\sqrt[3]{5^3}[/tex3]

[tex3]15\sqrt[3]{2^2}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\sqrt[3]{13500}=15\sqrt[3]{2^2}}}[/tex3]