Demonstre que essa preoposição é verdadeira:
[tex3] 1 + 5 + 14 +... + (n-4)(n-3)(2n-7)/6 = (n-4) (n-3)^2 (n-2)/12[/tex3]
x maior/igual que 5
Obs: livro n apresenta gabarito.
Ensino Médio ⇒ AREF - Indução Matemática - Questão 2.8 Tópico resolvido
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samcinati09
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παθμ
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Mai 2024
18
00:24
Re: AREF - Indução Matemática - Questão 2.8
samcinati09, seja [tex3]f(n)=\frac{(n-4)(n-3)^2(n-2)}{12},[/tex3]
e [tex3]S_n[/tex3]
o somatório tomado de 5 até [tex3]n.[/tex3]
Base da indução: Temos [tex3]S_5=\frac{(5-4)(5-3)(10-7)}{6}=1=f(5).[/tex3] Então [tex3]S_5=f(5),[/tex3] provando a base da indução.
Passo indutivo: Suponha que [tex3]S_n=f(n)[/tex3] para um certo [tex3]n.[/tex3]
Temos [tex3]S_{n+1}=S_n+\frac{((n+1)-4)((n+1)-3)(2(n+1)-7)}{6}.[/tex3]
Substituindo [tex3]S_n[/tex3] na equação acima por [tex3]f(n),[/tex3] pela hipótese da indução, obtemos:
[tex3]S_{n+1}=\frac{(n-4)(n-3)^2(n-2)+2(n-3)(n-2)(2n-5)}{12}=\frac{(n-3)(n-2)(n^2-3n+2)}{12}.[/tex3]
A equação quadrática [tex3]n^2-3n+2=0[/tex3] possui soluções [tex3]1[/tex3] e [tex3]2,[/tex3] portanto [tex3]n^2-3n+2=(n-1)(n-2)[/tex3] e:
[tex3]S_{n+1}=\frac{(n-3)(n-2)^2(n-1)}{12}=f(n+1).[/tex3]
Ou seja, [tex3]S_n=f(n)[/tex3] implica [tex3]S_{n+1}=f(n+1).[/tex3] Provamos o passo indutivo, concluindo o problema.
Base da indução: Temos [tex3]S_5=\frac{(5-4)(5-3)(10-7)}{6}=1=f(5).[/tex3] Então [tex3]S_5=f(5),[/tex3] provando a base da indução.
Passo indutivo: Suponha que [tex3]S_n=f(n)[/tex3] para um certo [tex3]n.[/tex3]
Temos [tex3]S_{n+1}=S_n+\frac{((n+1)-4)((n+1)-3)(2(n+1)-7)}{6}.[/tex3]
Substituindo [tex3]S_n[/tex3] na equação acima por [tex3]f(n),[/tex3] pela hipótese da indução, obtemos:
[tex3]S_{n+1}=\frac{(n-4)(n-3)^2(n-2)+2(n-3)(n-2)(2n-5)}{12}=\frac{(n-3)(n-2)(n^2-3n+2)}{12}.[/tex3]
A equação quadrática [tex3]n^2-3n+2=0[/tex3] possui soluções [tex3]1[/tex3] e [tex3]2,[/tex3] portanto [tex3]n^2-3n+2=(n-1)(n-2)[/tex3] e:
[tex3]S_{n+1}=\frac{(n-3)(n-2)^2(n-1)}{12}=f(n+1).[/tex3]
Ou seja, [tex3]S_n=f(n)[/tex3] implica [tex3]S_{n+1}=f(n+1).[/tex3] Provamos o passo indutivo, concluindo o problema.
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