Ensino Médio ⇒ Corolário: maior lado, maior ângulo Tópico resolvido

[LucasDN684]

Seja [tex3]\Delta ABC[/tex3]

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[tex3]\Delta ABC[/tex3]

, onde a, b e c são os comprimentos dos lados opostos aos ângulos [tex3] \angle BAC, \; \angle ABC \; \text{e} \; \angle ACB[/tex3]

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[tex3] \angle BAC, \; \angle ABC \; \text{e} \; \angle ACB[/tex3]

, respectivamente, tal que a>b>c, temos que, de acordo com a desigualdade triangular:

[tex3]\begin{cases} a>b>c \;\; \; \text{e} \; \; \; b+c>a \implies 0>a-(b+c)>-c>-b \\\\\\ a>b>c \;\; \; \text{e} \; \; \; a+c>b \implies 0>-c>b-(a+c)>-a \\\\\\ a>b>c \;\; \; \text{e} \; \; \; a+b>c \implies 0>-b>-a>c-(a+b) \end{cases} \implies 0>a-(b+c)>b-(a+c)>c-(a+b) \iff \boxed{0<-[a-(b+c)]<-[b-(a+c)]<-[c-(a+b)]} [/tex3]

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[tex3]\begin{cases} a>b>c \;\; \; \text{e} \; \; \; b+c>a \implies 0>a-(b+c)>-c>-b \\\\\\ a>b>c \;\; \; \text{e} \; \; \; a+c>b \implies 0>-c>b-(a+c)>-a \\\\\\ a>b>c \;\; \; \text{e} \; \; \; a+b>c \implies 0>-b>-a>c-(a+b) \end{cases} \implies 0>a-(b+c)>b-(a+c)>c-(a+b) \iff \boxed{0<-[a-(b+c)]<-[b-(a+c)]<-[c-(a+b)]} [/tex3]

Mas como num triângulo o maior ângulo sempre é oposto ao maior lado, corolário disso seria assumir como verdadeiro isto: que “quanto maior o módulo da diferença entre um lado e a soma dos demais em um triângulo, menor será a medida do ângulo oposto ao primeiro lado” e vice-versa?

[joaovitor]

Verdade. De fato, quanto maior o módulo diferença entre um lado e a soma dos demais em um triângulo, menor será a medida do ângulo oposto ao primeiro lado, e vice-versa.

Uma forma mais fácil de visualizar isso, é tomar 3 pontos quaisquer (A, B e C, por exemplo) numa circunferência, uma vez que todo triângulo pode ser inscrito numa.

Fixando-se os pontos B e C em um lugar qualquer e tornando o ponto A móvel, teremos o triângulo ABC formado pelos lados AB e AC (de medida variável, conforme o ponto A varre a circunferência), e lado BC (de valor fixo).

A corda BC depreende dois arcos de circunferência. Esses arcos podem ser iguais (caso BC seja seja diâmetro da circunferência) ou esses arcos podem ter valor diferente, com um dos arcos sendo maior do que o outro.

São duas as situações:

1) Se o ponto A estiver sobre o menor arco, o ângulo  será maior (obtuso) e, de fato, o modulo da diferença entre BC e os outros dois lados será menor. Uma vez que os lados AB e AC vão ficando menores.

2) Se o ponto A estiver sobre o maior arco, o ângulo  será menor (agudo) e, de fato, o módulo da diferença entre BC e os dois lados será maior. Uma vez que os lados AB e AC vão ficando maiores.

Veja abaixo essas 2 representações, respectivamente:

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1000050468.jpg (19.42 KiB) Exibido 132 vezes

Interessante é notar que, quanto mais B e C se aproximam um do outro, de forma que estejam ao ponto de quase estarem se sobrepondo, será obtido ângulos cada vez menores ou maiores, a depender de onde está o ponto A. E, claro, com o módulo da diferença ficando cada vez maior ou menor.