Prove a inequação
Para todo inteiro positivo n
Olimpíadas ⇒ Sequências Tópico resolvido
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Caduzin3445
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Mai 2024
11
23:13
Sequências
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FelipeMartin
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Mai 2024
12
00:25
Re: Sequências
[tex3]2^{\frac12 + \frac12 + \frac38 + \frac4{16} +... + \frac n{2^n}} < 2^2[/tex3]
Se provarmos que:
[tex3]\sum_{i=1}^{\infty} \frac{i}{2^i} \leq 2[/tex3]
O problema estará resolvido.
[tex3]f(x) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{x^i}{2^i} = \frac x2 \frac1{1-\frac x2} = \frac x{2-x}[/tex3]
[tex3]f'(x) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{ix^{i-1}}{2^i} = \frac{(2-x) + x}{(2-x)^2} = \frac2{(2-x)^2} [/tex3]
queremos então [tex3]f'(1) = 2 > \frac12 + \frac12 + \frac38 + \frac4{16} +... + \frac n{2^n} \forall n >0[/tex3]
Se provarmos que:
[tex3]\sum_{i=1}^{\infty} \frac{i}{2^i} \leq 2[/tex3]
O problema estará resolvido.
[tex3]f(x) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{x^i}{2^i} = \frac x2 \frac1{1-\frac x2} = \frac x{2-x}[/tex3]
[tex3]f'(x) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{ix^{i-1}}{2^i} = \frac{(2-x) + x}{(2-x)^2} = \frac2{(2-x)^2} [/tex3]
queremos então [tex3]f'(1) = 2 > \frac12 + \frac12 + \frac38 + \frac4{16} +... + \frac n{2^n} \forall n >0[/tex3]
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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erihh3
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Mai 2024
12
01:29
Re: Sequências
Como forma a complementar a solução acima, vou deixar outra soluçao.
Analisando a equação e reescrevendo-a, tem-se:
[tex3]2^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot ...\cdot \(2^n\)^{\frac{1}{2^n}}<4[/tex3]
Como nenhum termo presente na expressão acima é nulo, vamos aplicar [tex3]log_2[/tex3] em ambos os lados. Note que a relação entre os números se mantém uma vez que [tex3]log_2[/tex3] é uma função crescente.
[tex3]\frac12 + \frac24 + \frac38 + ...+ \frac n{2^n}<2[/tex3]
Analisaremos, agora, o lado esquerdo da equação reescrita.
[tex3]f(n)=\frac12 + \frac24 + \frac38 + ...+ \frac n{2^n}[/tex3]
Vamos supor, agora, que [tex3]n\to \infty[/tex3] . Ou seja, que f(n) possui infinitos termos. Por tratar-se de uma soma de números positivos, pode-se dizer que esse seria o maior valor possível a da imagem da função [tex3]f(n)[/tex3] .
[tex3]\lim_{n\to \infty}f(n)=\frac12 + \frac24 + \frac38 + ...+ \frac n{2^n}+...[/tex3]
A expressão acima é uma PAG e ela pode ser resolver fazendo uma abordagem telescópica do que representa essa soma.
[tex3]f_1(n)=\frac12 + \frac14 + \frac18 + ...+ \frac 1{2^n}+...[/tex3]
[tex3]f_2(n)=\frac14 + \frac18 + ...+ \frac 1{2^n}+...[/tex3]
[tex3]f_3(n)= \frac18 + ...+ \frac 1{2^n}+...[/tex3]
.
.
Sabe-se que a formula para uma PG infinita é dada por [tex3]S_n=\frac{a_1}{1-q}[/tex3] . Desta forma,
[tex3]f_1(n)=\frac12 + \frac14 + \frac18 + ...+ \frac 1{2^n}+...=1[/tex3]
[tex3]f_2(n)=\frac14 + \frac18 + ...+ \frac 1{2^n}+...=\frac12[/tex3]
[tex3]f_3(n)= \frac18 + ...+ \frac 1{2^n}+...=\frac14[/tex3]
.
.
Somando todos os componentes, tem-se:
[tex3]\lim_{n\to \infty}f(n)=1+\frac12+\frac14+..[/tex3]
Isso, por sua vez, também é uma PG infinita de razão [tex3]\frac12[/tex3] e termo inicial [tex3]1[/tex3] . Logo,
[tex3]\lim_{n\to \infty}f(n)=2[/tex3]
Sabendo que
[tex3]f(n)<\lim_{n\to \infty}f(n)=2[/tex3]
[tex3]f(n)<2[/tex3]
[tex3]\Longrightarrow2^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot ...\cdot \(2^n\)^{\frac{1}{2^n}}<4[/tex3]
Analisando a equação e reescrevendo-a, tem-se:
[tex3]2^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot ...\cdot \(2^n\)^{\frac{1}{2^n}}<4[/tex3]
Como nenhum termo presente na expressão acima é nulo, vamos aplicar [tex3]log_2[/tex3] em ambos os lados. Note que a relação entre os números se mantém uma vez que [tex3]log_2[/tex3] é uma função crescente.
[tex3]\frac12 + \frac24 + \frac38 + ...+ \frac n{2^n}<2[/tex3]
Analisaremos, agora, o lado esquerdo da equação reescrita.
[tex3]f(n)=\frac12 + \frac24 + \frac38 + ...+ \frac n{2^n}[/tex3]
Vamos supor, agora, que [tex3]n\to \infty[/tex3] . Ou seja, que f(n) possui infinitos termos. Por tratar-se de uma soma de números positivos, pode-se dizer que esse seria o maior valor possível a da imagem da função [tex3]f(n)[/tex3] .
[tex3]\lim_{n\to \infty}f(n)=\frac12 + \frac24 + \frac38 + ...+ \frac n{2^n}+...[/tex3]
A expressão acima é uma PAG e ela pode ser resolver fazendo uma abordagem telescópica do que representa essa soma.
[tex3]f_1(n)=\frac12 + \frac14 + \frac18 + ...+ \frac 1{2^n}+...[/tex3]
[tex3]f_2(n)=\frac14 + \frac18 + ...+ \frac 1{2^n}+...[/tex3]
[tex3]f_3(n)= \frac18 + ...+ \frac 1{2^n}+...[/tex3]
.
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Sabe-se que a formula para uma PG infinita é dada por [tex3]S_n=\frac{a_1}{1-q}[/tex3] . Desta forma,
[tex3]f_1(n)=\frac12 + \frac14 + \frac18 + ...+ \frac 1{2^n}+...=1[/tex3]
[tex3]f_2(n)=\frac14 + \frac18 + ...+ \frac 1{2^n}+...=\frac12[/tex3]
[tex3]f_3(n)= \frac18 + ...+ \frac 1{2^n}+...=\frac14[/tex3]
.
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Somando todos os componentes, tem-se:
[tex3]\lim_{n\to \infty}f(n)=1+\frac12+\frac14+..[/tex3]
Isso, por sua vez, também é uma PG infinita de razão [tex3]\frac12[/tex3] e termo inicial [tex3]1[/tex3] . Logo,
[tex3]\lim_{n\to \infty}f(n)=2[/tex3]
Sabendo que
[tex3]f(n)<\lim_{n\to \infty}f(n)=2[/tex3]
[tex3]f(n)<2[/tex3]
[tex3]\Longrightarrow2^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot ...\cdot \(2^n\)^{\frac{1}{2^n}}<4[/tex3]
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