IME/ITA ⇒ (FB) Relatividade

[careca]

Um cilindro se encontra rotacionando uniformemente sobre seu próprio eixo, que coincide com o eixo x' de um referencial que viaja com velocidade constante v (na direção x). A velocidade de rotação em relação ao referencial S' vale . Um observador, que está de fora em um referencial S. percebe que o cilindro está "torcido". Calcule a variação de ângulo por unidade de comprimento, em módulo, percebida por um referencial S parado em relação à Terra.

Α) [tex3] \frac{γ.w.v}{c^2} [/tex3]

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[tex3] \frac{γ.w.v}{c^2} [/tex3]

Β) [tex3] \frac{2.γ.w.v}{c^2} [/tex3]

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[tex3] \frac{2.γ.w.v}{c^2} [/tex3]

C) [tex3] \frac{γ.w}{c} [/tex3]

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[tex3] \frac{γ.w}{c} [/tex3]

D) [tex3] \frac{γ.w.c^2}{v^3} [/tex3]

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[tex3] \frac{γ.w.c^2}{v^3} [/tex3]

Ε) [tex3] \frac{γ.w.v^2}{c^3} [/tex3]

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[tex3] \frac{γ.w.v^2}{c^3} [/tex3]

Resposta

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Gabarito = A

[παθμ]

careca, considere um ponto em uma coordenada [tex3]x'[/tex3]

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[tex3]x'[/tex3]

qualquer no referencial S' do cilindro. Convenciando-se que ele está sobre o eixo z' no instante [tex3]t'=0,[/tex3]

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[tex3]t'=0,[/tex3]

temos [tex3]z'(t')=r \cos(\omega t')[/tex3]

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[tex3]z'(t')=r \cos(\omega t')[/tex3]

e [tex3]y'(t')=r \sin(\omega t'),[/tex3]

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[tex3]y'(t')=r \sin(\omega t'),[/tex3]

onde [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

é sua distância ao eixo do cilindro.

Transformações de Lorentz: [tex3]t'=\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right), \; y'=y, \; z'=z.[/tex3]

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[tex3]t'=\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right), \; y'=y, \; z'=z.[/tex3]

No instante [tex3]t=0[/tex3]

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[tex3]t=0[/tex3]

no referencial S, temos [tex3]t'=-\frac{\gamma v x}{c^2},[/tex3]

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[tex3]t'=-\frac{\gamma v x}{c^2},[/tex3]

ou seja, as posições z e y ficam [tex3]z(0)=r \cos\left(-\frac{\omega \gamma v}{c^2}x\right)[/tex3]

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[tex3]z(0)=r \cos\left(-\frac{\omega \gamma v}{c^2}x\right)[/tex3]

e [tex3]y(0)= r \sin\left(-\frac{\omega \gamma v}{c^2}x\right).[/tex3]

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[tex3]y(0)= r \sin\left(-\frac{\omega \gamma v}{c^2}x\right).[/tex3]

Daí fica fácil ver que o ângulo de torção por unidade de comprimento no referencial S é [tex3]\boxed{\frac{\omega \gamma v}{c^2}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\frac{\omega \gamma v}{c^2}}[/tex3]

Alternativa A