Se U incentro do triângulo DAR e I incentro do triângulo ARO, DR//UN e o valo da razão aritmética entre os inradios dos triângulos DRO e UNI é 4.Calcular UI.
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a)8
b)7
c)6
d)5
e)4
Resposta
a
Editado pela última vez por botelho em 25 Abr 2024, 13:57, em um total de 2 vezes.
.
Se r, R e x são os inraios dos triângulos DAR, OAR e DRO respectivamente: (inraio é a relação entre o dobro da área e o perímetro: [tex3]S = p.r = \frac{2pr}{2} \therefore 2S = 2p.r[/tex3]
Por outro lado, teremos triángulos semelhantes:
[tex3]UN:r=\sqrt{a^2+b^2}: a \implies \boxed{UN=\frac{b\sqrt{a^2+b^2}}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}=x}\\
IN:R=\frac{b}{a}\sqrt{a^2+b^2}:(\frac{b^2}{a}) \implies :\boxed{IN=\frac{b\sqrt{a^2+b^2}}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}=x}
[/tex3]
[tex3]UN:r=\sqrt{a^2+b^2}: a \implies \boxed{UN=\frac{b\sqrt{a^2+b^2}}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}=x}\\
IN:R=\frac{b}{a}\sqrt{a^2+b^2}:(\frac{b^2}{a}) \implies :\boxed{IN=\frac{b\sqrt{a^2+b^2}}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}=x}
[/tex3]
x é o inraio do triángulo UNI:
[tex3]x′=\frac{x^2}{2x+\sqrt 2 x}=\frac{x}{2+\sqrt2}\\
x−x′=4 \implies x=4\sqrt 2
\therefore UI=x\sqrt 2= \boxed{8}[/tex3]
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