Trigonometria

Em um triângulo ABC, é igual a:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E) NRA

p = semiperímetro R = raio do círculo circunscrito


Sendo um triângulo temos: A+B+C=180°. Dividindo por 2 podemos ter:

Isolando

Assim podemos dizer que .

Substituindo este valor na equação do enunciado e desenvolvendo um pouquinho:

Agora vamos multiplicar e dividir a expressão por :

Efetuando as divisões pertinentes no qüociente acima:

Agora devemos utilizar as fórmulas que relacionam os arcos metades aos arcos inteiros, que são:

Substituindo estas fórmulas na expressão encontrada:

Efetuando a soma de frações e a multiplicação, ficamos com:

Os termos grifados acima são exatamente as parcelas do desenvolvimento de sen(A+B). Mas, por ser um triângulo A+B=180°-C e, assim, sen(A+B)=sen(180°-C)=sen(C). Substituindo:

Agora, utilizando a Lei-dos-Senos podemos substituir os senos por:

Onde a, b e c são os lados do triângulo e R é o raio do círculo circunscrito. Substituindo estes valores na última expressão encontrada: