Trigonometria

Se sen   e α for pertencente ao 4º Quadrante, o valor da expressão  será:

    (A) 28
(B) -24
(C) -26
(D) 27
(E) 25


Utilizando a equivalência fundamental da trigonometria, sen²(x) + cos²(x) = 1
Podemos calcular o valor de cos α:

Sabendo que α está no quarto quadrante, então o co-seno é positivo e vale 3/5.

Sabendo que temos que tan α = – 4/3

Agora iremos utilizar as seguintes fórmulas:

cos(2x) = cos²(x) – sen²(x)

sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

podemos fazer uma transformação nestas fórmulas e utilzá-las da seguinte maneira:

        (1)

   (2)

estas transformações são válidas, pois a fórmula diz que o seno do dobro de um arco é igual à duas vezes o seno deste arco vezes o co-seno deste arco. Vamos tomar nosso arco como sendo x/2, portanto o dobro deste arco será x. O mesmo vale para o co-seno.

Na equação (2) vamos isolar o valor de e substituir o valor de cos x que já sabemos:

Veja que a raiz trouxe duas opçoes, ou + ou –, qual iremos utilizar? Como o ângulo é do quarto quadrante, a metade deste ângulo será do segundo quadrante, portanto terá seno positivo, vale o +.

Agora que já sabemos este valor, vamos substituí-lo na equação (1)

Para calcular melhor esta equação, vamos elevar os dois lados da equação ao quadrado. O valor de sen x já sabemos, podemos substituí-lo.

Dá para cortar o 16 com o 4

Para facilitar os cálculos daqui para frente, vamos chamar o, ou seja:

Aplicando Bhaskara, achamos como raízes:

Y’=4/5
Y”=-1/5

Como , ou seja, é um número elevado ao quadrado, não pode ter como resposta um valor negativo, portanto, o único valor que Y pode admitir é 4/5:

Como α/2 está no segundo quadrante, seu cosseno será negativo, portanto, vale a raiz negativa.

Pronto, achamos o valor de

Agora só nos falta achar o valor de , utilizaremos a fórmula:

Pronto, já temos todas as informações pedidas, agora é só substituir na fórmula pedida.

Resposta correta, letra “C”