Trapézio e Círculo

Na figura abaixo os segmentos AB e DA são tangentes à circunferência determinada pelos pontos B, C e D.
Sabendo-se que os segmentos AB e CD são paralelos, pode-se afirmar que o lado BC é:

trapezio

(A) a média aritmética entre AB e CD.

(B) a média geométrica entre AB e CD.

(C) a média harmônica entre AB e CD.

(D) o inverso da média ar itmét ica entre AB e CD.

(E) o inverso da média harmônica entre AB e CD.


Sendo AB paralela a CD, se traçarmos uma reta perpendicular a AB, esta será perpendicular a CD também.

Traçamos então uma reta perpendicular a AB, passando por B e outra perpendicular a AB passando por D:

trapezio

Sendo BE perpendicular a AB temos que BE irá passar pelo centro da circunferência, ou seja, podemos concluir que o ponto E é ponto médio de CD.

Agora que ED é metade de CD, podemos dizer que o comprimento AF vale AB-CD/2. Aplicamos pitágoras no triângulo ADF:

(1)

Aplicamos agora no triângulo ECB:

(2)

Agora diminuímos a equação (1) da equação (2):

Note, no desenho, que os segmentos AD e AB possuem o mesmo comprimento, pois são tangentes à circunferência. Vamos então substituir na expressão acima AD=AB:

Ou seja, BC é a média geometrica entre AB e CD. Reposta correta, letra “B”.