Tabela 3×3

De quantos modos se pode colocar numa tabela 3×3 duas letras A, duas letras B e duas letras C, uma em cada casa, de modo que não haja duas letras iguais na mesma coluna?


Para entender esta resolução, você deve ter lido a seguinte resolução: TABELA 2X3 – ANÁLISE COMBINATÓRIA

Esta questão deve ser separada em três situações distintas (é claro que sempre respeitando a regra do enunciado). A primeira situação é aquela em que iremos colocar 2 letras em cada coluna. A segunda situação é aquela que terá uma coluna com três letras, uma com duas letras e outra com uma letra. E a terceira situação será aquela que terá duas colunas com três letras.

– PRIMEIRA SITUAÇÃO (2 letras em cada coluna):

Já sabemos da resolução anterior que na tabela abaixo teremos 48 situações distintas respeitando o enunciado:

comb01_01.gif (1536 bytes)

Em cima desta tabela, iremos adicionar mais uma linha:

comb02_01.gif (1873 bytes)

Na parte cinza da tabela acima, sabemos que há 48 maneiras de agrupar tais letras. Ao adicionar uma linha, poderemos reagrupar cada coluna de três maneiras diferentes. Veja por exemplo, se na primeira coluna tivéssemos as letras A e B, ao adicionarmos a nova linha, poderíamos reagrupar das seguintes maneiras:

comb02_02.gif (4823 bytes)

A segunda e a terceira coluna também poderão ser reagrupadas de três maneiras distintas ao adicionarmos uma linha. Sendo assim, para cada um dos 48 modos possíveis da tabela cinza, poderemos construir 3x3x3 = 27 tabelas diferentes. Portanto, para a primeira situação existem 48 x 27 = 1296 tabelas.

– SEGUNDA SITUAÇÃO (uma coluna com 3 letras, uma com 2 letras e uma com 1 letra):

A coluna que terá 3 letras com certeza será composta por uma letra “A”, uma letra “B” e uma letra “C” (pois se há um “A” na coluna não pode haver outro, idem para o “B” e “C”), então uma possível construção para esta situação seria:

comb02_03.gif (3163 bytes)

Este é UM exemplo de tabela da segunda situação. Mas em cima dele encontraremos a quantidade total.

Veja que a primeira coluna pode ser totalmente embaralhada, ou seja, pode ser ABC (como está na figura), mas também pode ser ACB, CBA, CAB, … O número total de “anagramas” (por que não? anagramas) será P3 = 3 . 2 . 1 = 6 (permutação de três elementos). Mas ao mesmo tempo que podemos “embaralhar” a primeira coluna, as letras A, B e C da segunda e da terceira coluna podem trocar de lugar entre elas, ou seja, novamente P3 = 6.

comb02_06.gif (6775 bytes)

E ao mesmo tempo as duas letras da segunda coluna poderiam estar em três posições diferentes:

comb02_04.gif (4774 bytes)

Veja também que a letra da terceira coluna poderia estar em três posições diferentes também:

comb02_05.gif (3989 bytes)

E, por último (mas não menos importante), as três colunas podem permutar-se entre sí. P3 = 6.

comb02_07.gif (7754 bytes)

Com todas estas modificações teremos o número total de tabelas criadas para o segundo caso:

P3 . P3 . 3 . 3 . P3 = 1944
permutar os elementos da primeira coluna permutação dos outros três elementos posições possíveis para a segunda coluna posições possíveis para a terceira coluna permutação das três colunas entre sí

Ou seja, a segunda situação nos dá 1944 tabelas.

– TERCEIRA SITUAÇÃO (duas colunas com 3 letras):

Uma possível arrumação para esta situação seria:

comb02_08.gif (3067 bytes)

P3 . P3 . 3 = 108
permutar os elementos da primeira coluna permutar os elementos da segunda coluna posições possíveis para a coluna em branco

Portanto, o total de tabelas de acordo com o enunciado será a soma das tabelas encontradas nas três situações:

1296 + 1944 + 108 = 3348