Tabela 2×3

(UERJ) De quantos modos se pode colocar na tabela abaixo duas letras A, duas letras B e duas letras C, uma em cada casa, de modo que não haja duas letras iguais na mesma coluna?

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          (A) 12
(B) 24
(C) 36
(D) 48
(E) 64


Para facilitar o cálculo, vamos separar as colunas da tabela abaixo:

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Como não pode haver repetição de letras nas colunas, em cada uma delas irá aparecer, com certeza, ou um A ou um B ou um C. Para nos auxiliar, vamos colocar nas casinhas de cima três letras especiais:

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Em baixo do “A” teremos DUAS opções para escrever: ou B ou C. Em baixo do “B” teremos duas opções para escrever: ou A ou C. E em baixo do “C” também teremos duas opções: ou A ou B.

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Pelo PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM teremos 2x2x2 possibilidades diferentes para esta situação, ou seja, quando A está na primeira coluna, B na segunda e C na terceira (todas na casa superior) teremos 8 possibilidades diferentes de montagem da tabela.
Mas também poderemos ter o “A” na segunda coluna, o “C” na primeira coluna, etc. Então, para cada maneira de montar as casinhas inferiores, podemos ordenar as colunas de todas formas possíveis e obter novas tabelas. O número de maneiras de ordenar as três colunas é P3 (permutação de três elementos). Sabendo que P3 = 3 . 2 . 1 = 6, o número total de maneiras de escrever as letras dadas na tabela será

6 . 8 = 48


Uma ótima continuação para esta questão é a seguinte:

De quantos modos se pode colocar numa tabela 3×3 duas letras A, duas letras B e duas letras C, uma em cada casa, de modo que não haja duas letras iguais na mesma coluna?