Somatório

Determine o resto da divisão de

por 2004


A primeira coisa a fazer é visualizar o formato das parcelas que estão sendo somadas. Cada parcela é do tipo com k variando de 1 até 200.

Para confirmar esta afirmação, vamos substituir “k” por alguns valores:

Veja que os valores conferem com os dados no enunciado. Sendo assim, podemos escrever a soma do enunciado como sendo um somatório:

Se conseguirmos descobrir o valor numérico deste somatório, será fácil descobrir o resto da divisão dele por 2004.

Para facilitar a resolução, vamos trabalhar somente com a expressão , pois se conseguirmos simplificá-la, o nosso trabalho será muito mais rápido.

A partir de agora devemos saber uma propriedade:

A expressão

pode ser simplificada para nos auxiliar na resolução.

desenvolvendo um fator de
colocando k! em evidência
finalizando

Ou seja, a expressão (k+1)! – k! pode ser rescrita como:

(1)       

Esta será a nossa equivalência (1)

Voltando à expressão , vamos efetuar a multiplicação:

Note que os dois termos grifados em verde na última linha podem ser substituidos pela equivalência (1):

Efetuando as multiplicações (propriedade distributiva):

Novamente, o termo grifado acima pode ser substituido pela equivalência (1):


Somando os termos comuns (grifados acima):

Podemos colocar o termo em evidência:

Note que é a mesma coisa que :

Agora encontramos uma forma mais simples de expressar o nosso somatório inicial:

Agora fica barbadinha! É só a gente substituir alguns valores de k, ver qual propriedade que acontence e achar o valor do somatório:

k = 1 3! – 1!
k = 2 4! – 2!
k = 3 5! – 3!
k = 4 6! – 4!
k = 5 7! – 5!
………
k = 197 199! – 197!
k = 198 200! – 198!
k = 199 201! – 199!
k = 200 202! – 200!

Veja que teremos várias parcelas sendo anuladas:

somatorio03.gif (3759 bytes)

Siga a lógica dos cortes. Os termos 6!, 7!, -197! e -198! serão também anulados pelas parcelas que não escrevemos na tabela. Os únicos que irão sobrar são os termos -1!, -2!, 201! e 202!. Sendo assim, podemos concluir:

Agora podemos rescrever o enunciado como sendo:

“Determine o resto da divisão de  (201! + 202! – 3)  por 2004″

Fatorando o número 2004 temos:

Ou seja, qualquer número que tiver em sua fatoração o 4 o 3 e o 167 será divisível por 2004. Veja que o 201! e o 202! possuem tais fatores em seu desenvolvimento, tornando-os divisíveis por 2004. Ao somar dois números divisíveis por 2004, o resultado é um número divisível por 2004. Sendo assim, (201! + 202!) é divisível por 2004.

Com este falatório todo, podemos concluir que (201! + 202! – 3) é três unidades menor que um número divisível por 2004. Ou seja, faltam 3 unidades para ele se tornar um divisível por 2004. Sendo assim, o resto será:

resto = 2004 – 3 = 2001