Sistema de Equações com Logaritmos

Se (xo,yo) é uma solução real do sistema:

Então xo + yo é igual a:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)


Vamos mostrar duas maneiras diferentes de resolver esta questão.

1a Maneira – (Rápida, pouco cálculo, mas intuitiva)

 

(1)
(2)

Veja que a equação (2) é o produto da soma pela diferença, portanto, fatorando:

Olhando para esta multiplicação, vemos os fatores iguais aos logaritmandos da equação (1). Para encurtar o cálculo desta questão, vamos tentar alguns valores para (x-2y) e para (x+2y).

Para o produto de dois fatores resultar 4, existem infinitas respostas, mas as mais óbvias são as inteiras, ou seja:

Se dissermos que (x-2y)=2 e (x+2y)=2, isso não poderá ocorrer, pois ao substituir na equação (1), teríamos:

Absurdo, portanto 2 x 2 não podemos ter. Se tentarmos (x-2y) = 1 e (x+2y) = 4, teremos:

Ok, chegamos em uma verdade, portanto, descobrimos que
(x-2y) = 1
e
(x+2y) = 4

Estes valores satisfazem a equação (1) e a equação (2), portanto, podemos utilizá-los.

Agora temos um novo sistema bem mais fácil de resolver:

(1)
(2)

Somando as duas equações, temos:

Substituindo este valor em (1), temos:

Como o exercício pede a soma destes valores, temos:

(5/2) + (3/4) = 13/4
Resposta “D”

2a Maneira – (Demorada, muito cálculo)

 

(1)
(2)

Fatorando a equação (2):

(1)
(2)

Vamos isolar o valor (x-2y) na equação (2):

(1)
(2)

Agora vamos substituir este valor na equação (1):

Vamos aplicar propriedades de logaritmo na divisão

Retirar os colchetes

Para um melhor cálculo, vamos colocar todos os logaritmos na base 2

Tirando o MMC e efetuando as somas de frações

No lado esquerdo, vamos colocar log2(x+2y) em evidência. No lado direito vamos aplicar propriedades de logaritmo

Vamos substituir o “1” por log22

Aplicando propriedades de logaritmos.

Podemos “voltar” com a propriedade de mudança de bases

Sabemos que
log6(36) = 2

Se x+2y = 4, pela equação (2) temos que x-2y = 1. Com isso temos um novo sisteminha como na primeira maneira de resolver.

(1)
(2)

Assim x=5/2 e y=3/4