Sistema de Equações

( UFRGS ) Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então, o número original de garrafas de vinho na caixa é:

      (A) 42
(B) 33
(C) 30
(D) 24
(E) 18


A primeira coisa que devemos fazer em um exercício deste tipo é reconhecer quais são as grandezas envolvidas no problema. Neste caso temos o número de garrafas de vinho e o preço da dúzia de vinhos (note que não é o preço unitário que está em jogo, e sim o preço da dúzia):

n = número de garrafas de vinho
P = preço da DÚZIA de garrafas

Pense comigo. Se o preço da dúzia de ovos é 24 centavos, como você faria para calcular o valor do preço unitário?? (lembre-se que uma dúzia de ovos é 12 ovos).

Isso mesmo, cada ovo custaria 2 centavos, pois .

A mesma coisa iremos fazer com a dúzia de garrafas. Se uma dúzia custa P, cada garrafa irá custar .

Como compramos “n” garrafas, o preço será calculado através da multiplicação do número de garrafas pelo preço unitário, ou seja:

Vamos “passar” o 12 que está dividindo para o outro lado multiplicando

(1)       

Guardamos esta como sendo a equação (1).

Vamos pensar agora na segunda frase que o exercício nos dá: “vende pelo mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00”

Ou seja, agora temos, ao invés de “n” garrafas, (n-4) garrafas. E o preço da dúzia agora vale (P + 100) ao invés de P.
Se o valor da dúzia é (P+100) o novo preço unitário é (P+100)/12. Sabendo que a venda também foi por R$1000,00, podemos escrever:

Vamos “passar” o 12 que está dividindo para o outro lado multiplicando:

(n – 4).(P + 100) = 12000

(2)        n.P + 100n – 4P – 400 = 12000

Juntando agora (1) e (2), temos um sistema de equações:

(1)        n.P = 12000
(2)        n.P + 100n – 4P – 400 = 12000

Vamos substituir, na equação (2), o valor de n.p que temos da equação (1).

12000 + 100n – 4P – 400 = 12000
100n – 4P – 400 = 0

Podemos agora dividir os dois lados da equação por 4 e isolar P:

25n – P – 100 = 0
P = 25n – 100

Vamos agora substituir o valor de P na equação (1).

n.(25n – 100) = 12000
25n2 – 100n – 12000 = 0

Dividindo os dois lados da equação por 25, temos:

n2 – 4n – 480 = 0

Aplicando Bhaskara nesta equação, temos os seguintes valores:

n’ = 24
n” = – 20

Como sabemos que “n” é o número de garrafas, não pode ser negativo. Portanto, a resposta é 24!!