Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

( IME – 2001 ) Considere a figura abaixo, onde AB=AD=1, BC=x, AC=y, DE=z e AE=w. Os ângulos DÊA BCA e BFA são retos.

    a) Determine o comprimento de AF e BF em função de x, y, z e w
b) Determine a tangente do ângulo α em função de x, y, z e w

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Para resolver o item “a”, devemos visualizar o triângulo abaixo:

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Note que as medidas pedidas são os catetos do triângulo vermelho. Para achar estes valores, vamos aplicar as fórmulas do seno e do cosseno do ângulo (β + θ):

Aplicando a fórmula do seno da soma de dois ângulos e do cosseno da soma de dois ângulos, temos:

(1)      

(2)      

Agora, para saber os valores dos cossenos e senos necessários, vamos olhar para outros triângulos:

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Pelo triângulo acima laranja acima, podemos visualizar os valores das funções trigonométricas do ângulo β:

Agora, olhando para o triângulo verde abaixo:

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Podemos calcular as funções trigonométricas do ângulo θ :

Agora, sabendo todos os valores necessários, podemos voltar para as equações (1) e (2) e substituir:

(1)   

Estas são as respostas para o item “a” do exercício.

O item “b” agora fica fácil, olhando o triângulo vermelho da primeira figura, vemos que:

Substituindo pelos valores encontrados no item “a”:

Esta é a resposta para o item “b”.