Progressão Geométrica

Uma alga cresce de modo que a cada dia ela cobre a superfície de área igual ao dobro da coberta no dia anterior. Se esta alga cobre a superfície de um lago em 100 dias, assinale a alternativa correspondente ao número de dias necessários,  para que duas algas da mesma espécie da anterior cubram a superfície do mesmo lago.

    (A) 50 dias.
    (B) 25 dias.
    (C) 98 dias.
    (D) 99 dias.
    (E) 43 dias.


Vamos analisar cada um dos casos. No primeiro momento temos uma alga crescendo de acordo com uma P.G. de razão 2 (dobrando). É dito que esta alga irá demorar 100 dias para cobrir o lago, portanto, o centésimo termo da P.G. será exatamente o tamanho do lago (já que cada termo da P.G. é o espaço coberto pela alga e no centésimo dia ela cobrirá todo lago).

Como não é mencionado quanto ela cobriu no primeiro dia, vamos chamar de a1. Sendo assim:

Guardamos esta informação.

No segundo momento é perguntado quantos dias duas algas (iguais) irão cobrir o lago.

Ainda podemos dizer que temos uma P.G.. Veja a representação gráfica de um pedaço do lago abaixo:

lagoa.gif (4781 bytes)

Note que as duas algas, no primeiro dia, cobriram 2 espaços (o equivalente a 2a1), no segundo dia, 4 espaços, e assim por diante. Ou seja, mesmo com duas algas, continuamos com uma P.G. de razão dois. Portanto, no último dia (que ainda não sabemos, vamos chamar de “n-ésimo” dia) ela irá cobrir toda a extensão do lago. Aplicando a fórmula do termo geral:

Esta será a área coberta pelas duas algas no n-ésimo dia. Queremos saber quando ela irá cobrir o lago inteiro, ou seja, quando ela irá cobrir que é o valor da área total do lago. Portanto, igualando:

Podemos cortar os fatores a1:

Cortando as bases:

n = 99

Resposta correta, letra “D”.