Polinômios

( IME – 2001 ) Determine todos os números inteiros m e npara os quais o polinômio é divisível por .


A divisão que o exercício quer que exista é:

Para que esta divisão seja exata, o polinômio de cima deve,OBRIGATORIAMENTE, possuir TODAS as raízes do polinômio de baixo.

Raiz de um polinômio é o valor de “x” que, quando substituido na equação, resulta zero. Portanto, a raiz do polinômio de baixo é:

x + a = 0
x = -a

Sendo assim, o polinômio de cima deve ter uma raiz igual a (-a). Como sabemos, ao substituir o valor de x do polinômio por sua raiz, o resultado é zero. Substituindo:

2(-a)m + a3n . (-a)m-3n – am = 0

Para facilitar os cálculos, vamos substituir o (-a) por (-1) . a

2 . [(-1) . a]m + a3n . [(-1) . a]m-3n – am = 0

Aplicando a propriedade de potenciação que diz: (w . y)b = wb . yb, temos:

2 . (-1)m . am + a3n . (-1)m-3n . am-3n – am = 0

No termo em itálico da equação acima, vamos utilizar a seguinte propriedade de potenciação:

Aplicando a propriedade no termo em itálico:

2 . (-1)m . am + a3n . (-1)m-3n . vazio.gif (817 bytes)

vazio.gif (817 bytes)amvazio.gif (817 bytes) vazio.gif (817 bytes)– am = 0
vaziop.gif (807 bytes)

a3n

Note, que, podemos cortar os termos a3n (em negrito na equação acima) da segunda parcela:

2 . (-1)m . am + (-1)m-3n . am – am = 0

Vamos passar a parcela -am para o outro lado da igualdade:

2 . (-1)m . am + (-1)m-3n . am = am

Do lado esquerdo da igualdade, podemos colocar o termo am em evidência:

am . [2 . (-1)m + (-1)m-3n] = am

Agora podemos cortar o termo am dos dois lados da igualdade:

2 . (-1)m + (-1)m-3n = 1

Note que do lado esquerdo da igualdade (em cinza + verde), as únicas combinações que poderemos ter são:

2 +1
2 – 1
-2 +1
-2 – 1

Pois os termos (-1) elevados a qualquer expoente irão resultar somente 1 ou -1.

Veja que, destes, o único que irá resultar 1 (como a nossa última equação está mandando) é a segunda combinação ( 2 – 1). Sendo assim, podemos escrever:

(1)           2 . (-1)m = 2
(2)           (-1)m-3n = -1

Vamos desenvolver a equação (1):

2 . (-1)m = 2
(-1)m = 1

Ou seja, isto só irá acontecer quando o “m” for um número PAR.

Desenvolvendo a equação (2):

(-1)m-3n = -1

Isto só irá acontecer quando “m-3n” for um número ímpar. Como “m” já sabemos que é PAR, para “m-3n” resultar ímpar, “3n” deve ser ímpar também (pois um número par subtraído de um número ímpar resulta um número ímpar). Para “3n” ser um número ímpar, devemos ter “n” também ÍMPAR (pois um número ímpar, no caso 3, multiplicado por um número ímpar, resulta um número ímpar).

Então, a resposta final é:

“m” deve ser qualquer número PAR e “n” deve ser qualquer número ÍMPAR.