Logaritmos

( IME – 2001 ) Sejam “a” e “b” números reais positivos e diferentes de 1.

Dado o sitema abaixo:

determine os valores de “x” e “y”.


Esta questão consiste, basicamente, em “transformar” este sistema de equações – que, aparentemente, são difíceis – em um sitema com equações “mais bonitinhas”.

Vamos começar trabalhando na segunda equação:

Note que, no lado esquerdo da igualdade podemos aplicar a propriedade de logaritmos e “passar” o 2 que está multiplicando, como expoente do logaritmando:

Do lado direito, podemos modificar a aparência das bases dos logaritmos.

Efetuando a modificação:

Podemos agora, aplicar uma propriedade de logaritmos e “passar” o expoente da base dividindo o sistema de logaritmo que a possui:

Efetuando as divisões:

Vamos modificar a ordem da multplicação do lado direito:

Agora, podemos “cortar”, do lado direito, a base “b” com o logaritmando “b”.

O “-2” que está multiplicando o logaritmo pode passar como expoente do logaritmando:

Como há uma igualdade de dois logaritmos de mesma base, podemos igualar os logaritmandos (vulgarmente falamos “cortar” os logaritmos):

Note, que é dito no enunciado que “x” e “y” são números POSITIVOS. Portanto, podemos cancelar os quadrados dos dois lados e escrever:

Esta será a nossa primeira “equação bonitinha”, chamamos de equação (1).

Vamos voltar ao sistema do enunciado e trabalhar na primeira equação:

Podemos substituir o valor de 1/y que temos da equação (1) e substituir a raiz quadrada pela sua representação em forma de potência:

Aplicando uma propriedade de potenciação, podemos escrever:

Assim, “cortando” as bases, concluímos que:

Lembrando, de (1),  que:

O valor de “y” será:

Portanto:

y = 2